$2^na+b=x_n^2$ per ogni $n$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$2^na+b=x_n^2$ per ogni $n$

Messaggio da jordan » 24 lug 2013, 15:53

Siano fissati due interi non negativi $a,b$. Sappiamo che per ogni intero positivo $n$ esiste un intero $x_n$ tale che \[ 2^na+b=x_n^2. \]

Dimostrare che $a=0$.
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kalu
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Re: $2^na+b=x_n^2$ per ogni $n$

Messaggio da kalu » 30 lug 2013, 20:04

Definiamo $y_n=2x_n-x_{n+2}$ per ogni $n$.
E' immediato notare che $x_{n+2}^2=4x_n^2-3b$, da cui $3b=y_n(4x_n-y_n)$.
In particolare $y_n\leq 3b$, $4x_n-y_n\leq 3b$: quindi $2x_n\leq 3b$ per ogni $n$.
Se $a>0$, $x_n$ assume valori arbitrariamente grandi: assurdo.
Pota gnari!

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jordan
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Re: $2^na+b=x_n^2$ per ogni $n$

Messaggio da jordan » 20 ago 2013, 02:25

Funziona, bene! altrimenti 3b e' differenza di quadrati in numero non finito, che e' impossibile ;)
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