Ehi! Io lo conosco un metodino carino carino per le radici! Le frazioni continue
Piccola intro sui razionali, per poi tuffarci sugli irrazionali
Si definisce
frazione continua di \(a/b\) la seguente espressione:
\( \displaystyle \frac{a}{b} = q_0 + \frac{1}{q_1+\frac{1}{q_2 + \ldots \frac{1}{q_n}} } \)
I numeri \(q_0, \ldots, q_n\) si chiamano
quozienti parziali. La frazione continua relativa ad \(a/b\) si indica con \([q_0, \ldots,q_n]\).
E uno potrebbe dire: eh va là, ma come faccio io a calcolarmi i quozienti parziali? Straafacile:
Passo 1. Prendo la parte intera di \(a/b\) ed è \(q_0\) (di fatto quello che sta dopo è un 1 fratto roba, perciò più piccolo di 1).
Passo 2. Sottraggo \(q_0\) ad \(a/b\) e prendo l'inverso: ottengo una frazione \(a'/b'\) che sottopongo nuovamente al passo 1.
Con questo si ottengono tutti i quozienti parziali, che, per i razionali, sono in numero finito.
Convergenti. Data una frazione continua \([q_0, \ldots, q_n]\), si definisce \(k\)-esimo convergente la frazione che vien fuori sviluppando la frazione continua \([q_0, \ldots, q_k]\). Per esempio, ho che \(\displaystyle 13/7 = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{6}} = [1,1,6]\). Lo 0-esimo convergente è [1], ossia 1, mentre il primo convergente è [1,1], ossia \(\displaystyle 1+\frac{1}{1} = 2\).
In particolare, chiamiamo rispettivamente \(A_k\) e \(B_k\) il numeratore e il denominatore del \(k\)-esimo convergente. Vale la seguente relazione di ricorrenza (prova a dimostrarla giochicchiando un pochino con le frazioni continue):
(1) \(A_{k+1} = q_{k+1} A_k + A_{k-1}, \ \ \ \ \ B_{k+1} = q_{k+1} B_k + B_{k-1} \)
Questo significa che, per ogni \(x \in \mathbb{R}\):
(2) \( \displaystyle [q_0, \ldots, q_n, x] = \frac{xA_n + A_{n-1}}{x B_n +B_{n-1} } \)
Questo servirà per dimostrare (a te
) che effettivamente le frazioni continue servono per approssimare gli irrazionali. Mi spiegherò meglio.
Seconda proprietà carina dei convergenti (e utile per le famose equazioni di Pell, che però adesso non ci importano):
(3) \(A_n B_{n-1} - B_n A_{n-1} = (-1)^n\)
Puoi provare a dimostrare anche questo con questo hint:
Irrazionali. In particolare, se ti interessano gli irrazionali quadratici, questi hanno uno sviluppo periodico in frazioni continue, e se non sbaglio sono della forma \([q_0; \overline{q_1, q_2, \ldots, q_2, q_1, 2q_0}]\). Puoi dimostrare che, detto \(\frac{A_n}{B_n}\) l'\(n\)-esimo convergente della frazione continua di un numero irrazionale \(\alpha\), vale
(4)\( \displaystyle |\alpha - \frac{A_n}{B_n} | < \frac{1}{B_n B_{n+1} } < \frac{1}{B_n^2}\)
Visto che i \(B_n\) sono crescenti (guarda la
(1) per convincertene), significa che al crescere di \(n\) l'errore diminuisce, e in particolare tende a 0.
Per dimostrarlo, devi usare la
(2) e la
(3). Se non ci riesci, posto alcuni hint:
La pratica. Facciamo un esempio di come si usano queste frazioni parziali per approssimare \(\sqrt{3}\):
Iniziamo a calcolarci i quozienti parziali finchè non vediamo che diventano periodici:
\(\displaystyle \sqrt{3} = 1+ (\sqrt{3}-1) = 1+ (\sqrt{3}-1)\frac{(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)} = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}+1} = 1+ \frac{1}{ \frac{\sqrt{3}+1}{2} } \)
Come vedi, basta razionalizzare la parte rimanente e poi prendere l'inverso. Continuiamo:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2} = 1+ \frac{2}{2(\sqrt{3}+1)} = 1+ \frac{1}{ \sqrt{3}+1} \)
\(\displaystyle \sqrt{3}+1 = 2 + (\sqrt{3}-1) = 1+ \frac{1}{\frac{(\sqrt{3}+1)}{2} } \)
e qui siamo felici, perchè ci è ricapitato lo stesso calcolo iniziale. Perciò abbiamo \(\sqrt{3} = [1;\overline{1,2}]\). Calcoliamo a mano i primi due convergenti:
\(A_0 = q_0 = 1, \ B_0 = 1; \ \ \ \ A_1 = q_0q_1 + 1 = 2, B_1 = q_1 = 1\)
Adesso con la relazione di ricorrenza
(1) te ne puoi calcolare finchè non ti stanchi; andando un po' avanti si ottiene:
\(A_2 = 2*2 + 1 = 5, \ A_3 = 5*1 + 2 = 7, \ A_4 = 7*2 + 5 = 19,\ A_5 = 19*1 + 7 = 26\)
\(B_2 = 2*1+1=3, \ B_3 = 3*1 + 1 = 4, \ B_4 = 4*2 + 3 = 11, \ B_5 = 11*1 + 4 = 15\)
Perciò \(26/15\) può essere una buona approssimazione; precisamente, ha un errore di \(1/15^2\) (vedi la
(4)), ossia ha le prime due cifre dopo la virgola giuste. Andando un po' avanti puoi ottenere in fretta buone approssimazioni
Piccole altre cose. Puoi dimostrare, grazie alla
(1) e al fatto che \(B_0 = 1\), che numeratore e denominatore \(A_k, B_k\) del \(k\)-esimo convergente sono sempre primi fra loro. Inoltre il convergente \(A_k / B_k\) della frazione continua di un irrazionale \(\alpha\) rappresenta la migliore approssimazione razionale possibile con denominatore minore o uguale a \(B_k\).
Spero di esserti stato utile!