$\omega(s(n)) \le M$

[jordan]

Dati interi positivi $ m_1,\ldots,m_k $ per qualche $ k\ge 1 $, fissiamo dei razionali $ a_{i,j} $ e polinomi a coefficienti interi $ f_{i,j}(x) $ con coefficienti direttivi positivi per ogni $ 1\le i\le k $ e $ 1\le j\le m_i $. Definiamo la succesione
\[ s(n):=\sum_{1\le i\le k}\prod_{1\le j\le m_i}{a_{i,j}^{f_{i,j}(n)}}\text{ per ogni intero }n\ge 0 \]

Dimostrare che se non esistono interi non nulli $ x_0,\ldots,x_d $ tali che $ s(n)=\prod_{0\le i\le d}{x_i^{n^i}} $ per ogni intero positivo pari allora non esiste alcuna costante $M$ tale che $\omega(s(n)) \le M$ per ogni intero $n\ge 0$.

(Paolo Leonetti e Salvatore Tringali)

Nota. Qui $\omega(q)$ rappresenta il numero di divisori primi di $q \in \mathbb{Q}$, dove per definizione $\omega(-q)=\omega(q)$, $\omega(1)=0$, $\omega(0)=\infty$, e $\omega(a/b)=\omega(a)+\omega(b)$ ogni volta che $\text{gcd}(a,b)=1$.
Edit. Un grazie a Salvo e dario2994 per correzioni sul testo..