Il cubo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Triarii
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Il cubo

Messaggio da Triarii » 23 mag 2013, 18:33

Non è molto difficile, ma mi sentivo di condividerlo :)
Risolvere negli interi positivi l'equazione
$ n^3+7n-133=m^3 $
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LeZ
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Re: Il cubo

Messaggio da LeZ » 23 mag 2013, 20:13

Proviene da una gara di Campigotto se non ricordo male, quindi metto un hint.
Testo nascosto:
Quanto può valere al massimo n? Quindi?

Triarii
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Re: Il cubo

Messaggio da Triarii » 23 mag 2013, 20:17

Giusto, sia per la provenienza che per l'hint ;)
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Gi.
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Re: Il cubo

Messaggio da Gi. » 26 mag 2013, 18:18

Chiedo il vostro aiuto, credo di essere riuscito a trovare in qualche modo il limite inferiore e superiore di n, ma non capisco come concludere.
Il limite inferiore lo troviamo facilmente

$ n(n^2+7)-133=m^3 $, poichè $ m^3 $ è positivo per ipotesi allora $ n(n^2+7)>133 $, e questo avviene per ogni $ n\ge5 $.

Adesso supponiamo $ m^3\ge n^3 $, quindi possiamo dire $ m^3=n^3+k $ per qualche intero positivo $ k $, sostituendo si giunge a
$ 7n-133=k $, quindi $ 7|k $ perchè sia $ 7n $ che $ 133 $ sono divisibili per $ 7 $, diciamo $ k=7k_1 $, giungendo a $ n=19+k_1 $, ma per ipotesi $ k_1 $ è non negativo, quindi il minimo di $ n $ dovrebbe essere $ 19 $, assurdo perchè come mostrato prima è $ 5 $.

Dunque è $ n^3\ge m^3 $ e $ n^3=m^3+k $, con le suddette sostituzioni giungiamo a $ 7n=133-k $, come prima $ 7|k $ e $ k=7K_1 $, quindi $ n=19-k_1 $, per cui il massimo di $ n $ è $ 19 $.

Con queste due informazioni ho verificato che $ n=5 $ e $ n=19 $ sono soluzione, suppongo siano le sole ma non so proprio come dimostrarlo.

Triarii
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Re: Il cubo

Messaggio da Triarii » 26 mag 2013, 18:42

Ti manca n=6, comunque l'hint che ti posso dare è
Testo nascosto:
Disuguaglianze :)
Poi non mi torna tantissimo il passaggio dove raggiungi l'assurdo, se me lo puoi spiegare meglio forse capisco
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Gi.
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Re: Il cubo

Messaggio da Gi. » 26 mag 2013, 22:33

Certo, nessun problema.
Inizialmente suppongo per assurdo $ m^3\ge n^3 $, quindi siamo d' accordo che possiamo esprimere $ m^3 $ come somma di $ n^3 $ ed un certo altro numero $ k\ge0 $, ossia $ m^3=n^3+k $.
Sostituiamo nell' equazione di partenza:

$ n^3+7n-133=n^3+k $
$ 7n-133=k $

Adesso abbiamo che $ 7 $ divide sia $ 7n $ che $ 133 $, quindi dividerà anche $ k $ perchè la divisibilità si mantiene con le combinazioni lineari, possiamo dire $ k=7k_1 $, con $ 0 \le k_1 < k $. Effettuando la sostituzione e semplificando il fattore $ 7 $ giungiamo a

$ n-19=k_1 $
$ n=19+k_1 $ (1)

La (1) implicherebbe che il minimo di $ n $ è 19, infatti $ k_1 $ non può essere negativo per ipotesi, ma questo è assurdo perchè precedentemente ho dimostrato che il minimo di $ n $ è 5, che è minore di 19. Da cui l' assurdo.

Ho cercato di non saltare alcun passaggio, spero che stavolta sia più chiaro (e soprattutto che sia corretto :lol: ).
Ragiono un po' su circa l' hint, sperando che la notte mi porti consiglio, anche se in realtà potrei buttarmi brutalmente sul problema provando i 15 diversi casi possibili, ma non sarebbe molto elegante.

Triarii
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Re: Il cubo

Messaggio da Triarii » 28 mag 2013, 15:29

Perdonami, ma io l'assurdo non ce lo vedo. La prima volta hai detto che n deve essere meggiore di 5, altrimeni m sarebbe negativo, poi dici che n deve essere maggiore di 19 affinchè m sia maggiore di n, io non vedo questo assurdo...
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Gi.
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Re: Il cubo

Messaggio da Gi. » 28 mag 2013, 16:14

Effettivamente hai ragione, ci penso ancora un po' su.

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