Sequenze e partizioni dei numeri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gottinger95
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Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da Gottinger95 » 22 mag 2013, 06:45

Sia \(\{a_n\}\) una serie tale che \(a_{i+1} = a_i \pm 1 \) e che \(a_i >0 \) per ogni \(i \geq 1 \). Sia \(S_n = a_1 + \ldots + a_n \).

Si fissino due interi \(M_a,M_b\) tali che :
1. \(max\{a_i\} \leq M_a\)
2. \(n \leq M_b\)

Per quali \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) scegliere gli \(a_i\) in modo che per qualche \(n\) si abbia \(S_n = k\) ?

P.S. Interpretazione geometrica:
Consideriamo un piano cartesiano, e in questo il rettangolo che ha per vertici \((0,0),\ \ (0,M_a),\ \ (M_b,0),\ \ (M_b, M_a)\). Consideriamo i punti a coordinate intere in questo rettangolo. Per quali \(k\) è possibile colorare \(k\) di questi punti in modo tale che il numero di punti colorati di due colonne (i.e. rette parallele all'asse y) successive non differisca mai di più di uno?
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kitsune
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da kitsune » 22 mag 2013, 08:20

Temo di non aver capito la domanda perche' mi pare davvero banale:

Dato che ogni elemento deve essere maggiore di zero
$ a_1=1 $
$ a_2=2 $

Adesso, come fa una somma di numeri positivi $ 1+2+... $ ad essere uguale a $ 2 $?
Provando i casi piccoli nemmeno 4 si riesce ad ottenere, adesso sto pensando per valori generici di $ k $ quando si riesce e quando no

p.s.
non ho capito cosa intendi dire sulla disposizione di icone sul desktop
Ultima modifica di kitsune il 22 mag 2013, 11:18, modificato 1 volta in totale.

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auron95
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da auron95 » 22 mag 2013, 10:20

Anch'io non comprendo: se io posso scegliere come mi pare gli $a_i$, non posso scegiere il primo uguale a k e poi prendere $S_1$? :shock:
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kitsune
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da kitsune » 22 mag 2013, 11:18

Boh, io ho dato per ovvio che $ a_1=1 $ perchè altrimenti non mi sembrava avere molto senso

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auron95
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da auron95 » 22 mag 2013, 11:59

In tal caso direi che si può $\forall k \in \mathbb N \setminus \{0,2,5\}$.
Non lo dimostro ora perché sto scrivendo da cellulare, ma è abbastanza semplice... ;)
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Gottinger95
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da Gottinger95 » 22 mag 2013, 13:58

Scusatemi, l'ho scritto di fretta e mi sono dimenticato una limitazione. Edito subito.
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auron95
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da auron95 » 22 mag 2013, 18:27

Ok, c'è solo un'ultima cosa che non mi quadra: preso il rettangolo posso anche lasciare delle colonne vuote alla fine (non devo cioè per forza usarle tutte) giusto?
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da xXStephXx » 22 mag 2013, 18:51

Se ho capito bene il testo dovresti usare tutte le colonne ( $a_i>0$ ) e inoltre seguendo l'interpretazione geometrica mi sa che vanno esclusi gli assi, altrimenti ci sarebbe una colonna ed una riga in più.

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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da Gottinger95 » 23 mag 2013, 14:13

Se il rettangolo ha dimensioni \(M_a, M_b\), allora ci sono \(M_b\) colonne alte \(M_a\) disponibili, ossia non è necessario usarle tutte.
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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da xXStephXx » 23 mag 2013, 15:12

Allora mi sa che ancora non ho capito il testo :D La quantità $a_i$ corrisponde al numero di punti presi sulla colonna $i$?
Se è così (escludendo la limitazione $a_i>0$) risulta per caso che:
Testo nascosto:
Con $M_b$ dispari si possono ottenere tutti i $k$ che vanno da $\displaystyle \bigg \lfloor \frac{M_b}{2} \bigg \rfloor $ fino a
$\displaystyle M_a \cdot M_b - \bigg \lfloor \frac{M_b}{2} \bigg \rfloor$
Con $M_b$ multiplo di $4$ tutti i $k$ pari in quell'intervallo, mentre con $M_b$ pari ma non multiplo di $4$ tuti quelli dispari in quell'intervallo
:?:
Ma probabilmente ho capito una cosa per un'altra... :mrgreen:

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Re: Sequenze e partizioni dei numeri

Messaggio da Gottinger95 » 23 mag 2013, 20:57

Non ho capito cosa non ti è chiaro :oops:
I numeri da 1 a \(M_a\) per esempio si fanno facilmente: basta colorare solo i puntini di una colonna.
Poi di certo si fanno anche quelli della forma \(2n+1\) con \(1 \leq n \leq M_a - 1\), prendendo due colonne consecutive.
Eccetera eccetera eccetera. Spero di essermi spiegato meglio, scusate ma ho il vizio di essere poco chiaro!
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