$(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Messaggio da jordan » 21 mag 2013, 14:32

Trovare tutti gli interi positivi $x,y$ tali che
\[ (x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 \]

(Titu Andreescu)
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spugna
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Re: $(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Messaggio da spugna » 21 mag 2013, 21:58

$x+y=s$
$|x-y|=d$

$s^2d^2=2013+6\min\{x,y\} \Rightarrow s$ e $d$ sono entrambi dispari

$\min\{x,y\}=\dfrac{s-d}{2} \Rightarrow s^2d^2=2013+3s-3d \Rightarrow s=\dfrac{3 \pm \sqrt{9+8052d^2-12d^3}}{2d^2}$

$\Delta=9+12d^2(671-d) \Rightarrow \Delta \ge 9$ $\forall 1 \le d \le 671 \wedge \Delta<0$ $\forall d>671$

Ovviamente se $\Delta<0$ non ci sono soluzioni, dunque $1 \le d \le 671 \Rightarrow \Delta \ge 9 \Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{\Delta}}{2d^2} \le 0$
ma $s$ deve essere positivo, perciò è accettabile solo la soluzione col segno $+$. Inoltre abbiamo

$s>d \Rightarrow 3+\sqrt{\Delta}>2d^3 \Rightarrow \Delta=9+8052d^2-12d^3>(2d^3-3)^2=4d^6-12d^3+9$
Ora, non ho ancora capito se è o no un caso straordinariamente fortunato, ma sta di fatto che si semplifica un po' di roba :D
$4d^6<8052d^2 \Rightarrow d^4<2013 \Rightarrow d \in \{1,3,5 \}$

Provando un caso per volta, notiamo che $\Delta$ è un quadrato perfetto solo se $d=5$, da cui segue $s=9$ e quindi la coppia $(7,2)$, che è l'unica soluzione
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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jordan
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Re: $(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Messaggio da jordan » 21 mag 2013, 22:34

Oh che brutta soluzione xd
Apparte questo, mi pare corretta :roll:
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spugna
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Re: $(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Messaggio da spugna » 22 mag 2013, 00:05

Concordo, ma adesso ne voglio vedere una bella XD
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: $(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $

Messaggio da jordan » 22 mag 2013, 11:11

Questa è la mia
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