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Somma di dispari consecutivi

Inviato: 21 mag 2013, 12:09
da toti96
Preso da Art and Craft(Bay Area Mathematical Olympiad 2006):

a)Si può scrivere $ 2005 $ come somma di almeno $ 2 $ dispari positivi consecutivi? Se sì fornire un esempio di come può essere fatto. Se no dimostrarne l'impossibilità.

b)Si può scrivere $ 2006 $ come somma di almeno $ 2 $ dispari positivi consecutivi? Se sì fornire un esempio di come può essere fatto. Se no dimostrarne l'impossibilità.

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 21 mag 2013, 12:45
da kitsune
a) la somma di $ q $ numeri dispari consecutivi e' divisibile per $ q $, questo perche' i numeri dispari consecutivi sono della forma $ 2n+1,2n+3,2n+5,...,2n+2q-1 $ e la loro somma vale $ 2qn+1+3+5+...+2q-1 $, $ 2qn $ e' ovviamente divisbile per $ q $ mentre e' risaputo che la somma dei primi $ q $ numeri dispari e' uguale a $ q^2 $ che e' ovviamente divisibile per $ q $.

Questo vuol dire che un numero esprimibile come somma di $ x $ consecutivi numeri dispari e' della forma $ 2xn+x^2 $ dove $ n $ e' la meta' del primo numero dispari della serie decrementato di 1.
Dato che $ 2005=5*401 $ proviamo a risolvere $ 10n+25=2005 $ che da come risultato $ n=198 $ quindi 2005 e' esprimibile come somma di 5 numeri dispari a partire da $ 2*198+1 $, infatti $ 397+399+401+403+405=2005 $

b)no, $ 2006=2*17*59 $, soluzione poco elegante ma basta sostituire alla $ x $ dell'equazione usata sopra 2,17,59,34,118 e 1003 per notare che nessuno da un risultato intero positivo

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 21 mag 2013, 13:17
da toti96
il punto a) praticamente l'ho fatto uguale .
per il punto b) si poteva anche dire che dato $ 2006 $ pari allora esso sarebbe dovuto essere somma di un numero pari di numeri dispari.ora poichè un numero dispari è della forma $ 4k+1 $ o $ 4k+3 $ la somma di un numero pari di dispari consecutivi è un multiplo di $ 4 $ mentre $ 2006 $ non lo è

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 21 mag 2013, 13:28
da kitsune
toti96 ha scritto:il punto a) praticamente l'ho fatto uguale .
per il punto b) si poteva anche dire che dato $ 2006 $ pari allora esso sarebbe dovuto essere somma di un numero pari di numeri dispari.ora poichè un numero dispari è della forma $ 4k+1 $ o $ 4k+3 $ la somma di un numero pari di dispari consecutivi è un multiplo di $ 4 $ mentre $ 2006 $ non lo è
Avevo notato che la somma di due numeri dispari consecutivi e' divisibile per 4, ma non so come ho fatto a farmi sfuggire che questo vale anche per la somma di un qualunque numero pari di numeri dispari consecutivi :S

tra l'altro non e' richiesto dal problema, ma sotituendo $ 401 $ nell'equazione che ho usato per il punto a) si trova anche che $ 2005 $ e' esprimibile come somma di $ 401 $ numeri dispari consecutivi a partire da $ -395 $

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 30 giu 2013, 18:34
da Gottinger95
Problema bonus: Quali numeri sono esprimibili come \(x^2 + 2xn\) ? In quanti modi?

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 02 lug 2013, 21:59
da enrico_s
la somma dei primi n dispari consecutivi è uguale a $ n^2 $ .
Si può pensare al problema come trovare due interi n e k che risolvano $ n^2 - k^2 = 2005 $ con $ n-k>1 $ .
Riscrivo l' equazione come $ (n-k)(n+k)=2005 $
Essendo $ 2005=5*401 $, l'unico sistema che risolve l'equazione è
$ n-k=5 $
$ n+k=401 $

da cui si ricava la soluzione $ n=203 , k=198 $
i numeri cercati sono quelli compresi tra $ 2k+1 $ e $ 2n-1 $
quindi $ 397, 399, 401, 403 $ e $ 405 $

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 03 lug 2013, 14:26
da Gottinger95
Dai sei a un passo dalla souzione generale!

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 12 lug 2013, 22:33
da kitsune
Non ho capito se è quello che intendete come soluzione generale ma tutti e solo i numeri esprimibili come prodotto di due numeri aventi la stessa parità possono essere espressi come somma di numeri dispari consecutivi

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 13 lug 2013, 12:58
da Gottinger95
E' molto vicino alla caratterizzazione finale. Quali numeri \(n\) possono essere espressi come prodotto di due nueri aventi la stessa parità? Prova a dirlo senza tirare in ballo i numeri che moltiplichi per ottenere \(n\), e poi dimostra che tutti gli \(n\) che rispettano quella condizione possono effettivamente essere espressi come \(x^2 + 2xn\).

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 13 lug 2013, 17:19
da kitsune
Mi sa che mi sfugge qualcosa perchè non riesco a caratterizzare solo i numeri esprimibili come prodotto di due numeri aventi la stessa parità, però riesco a caratterizzare tutti quelli che non sono esprimibili come.prodotto di due numeri aventi la stessa parità ovvero tutti i numeri della forma $ 2(2n+1) $

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 14 lug 2013, 12:06
da Gottinger95
Esatto. Se svolgi, ti viene \(4n+2\), ossia i numeri congrui a 2 modulo 4. Perciò, affinchè un numero \(n\) sia esprimibile come \(n=x^2 + 2xy\) è necessario che \(n \equiv 0,1,3 \pmod{4}\). Ma è anche sufficiente?

Re: Somma di dispari consecutivi

Inviato: 18 lug 2013, 13:56
da maurizio43
Vediamo se riesco a descrivere un metodo generale per ricavare i gruppi di numeri dispari consecutivi la cui somma la cui somma è uguale ad un numero assegnato m . Il caso più semplice è quello con numero assegnato m dispari .
-In tal caso il numero degli addendi consecutivi deve ovviamente essere dispari, e lo indichiamo come 2k+1 .
-Uno di questi addendi è pari alla loro media aritmetica e gli altri addendi sono disposti simmetricamente attorno ad esso (con passo +2 o -2).
-La somma dei 2k+1 addendi non cambia se ad ogni coppia di addendi simmetrici sostituiamo una coppia di addendi uguali al centrale .
-Quindi la somma vale 2k+1 volte l' addendo centrale.
-Cioè il numero assegnato m è multiplo del numero 2k+1 con fattore di molteplicità ovviamente dispari. Cioè m = ( 2n+1 ) ( 2k+1 )
-Quindi : Quale che sia m posso scegliere un suo sottomultiplo 2k+1 a piacere e ricavare i 2k+1 addendi dispari, fissando
come addendo centrale il numero che si ottiene dividendo m per (2k+1) e individuando i primi k dispari consecutivi a destra e a sinistra .
(Naturalmente deve valere la condizione 2n+1 > 2k affinchè non vengano a mancare i numeri a sinistra del centrale ) .

Il caso di numero assegnato m pari è un po' più articolato e si può arrivare a metodi simili, con qualche limitazione in più, per ricavare gli addendi dispari consecutivi (che in questo caso dovranno essere in numero pari).