Somma di dispari consecutivi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
toti96
Messaggi: 53
Iscritto il: 02 nov 2012, 20:17

Somma di dispari consecutivi

Messaggio da toti96 » 21 mag 2013, 12:09

Preso da Art and Craft(Bay Area Mathematical Olympiad 2006):

a)Si può scrivere $ 2005 $ come somma di almeno $ 2 $ dispari positivi consecutivi? Se sì fornire un esempio di come può essere fatto. Se no dimostrarne l'impossibilità.

b)Si può scrivere $ 2006 $ come somma di almeno $ 2 $ dispari positivi consecutivi? Se sì fornire un esempio di come può essere fatto. Se no dimostrarne l'impossibilità.

kitsune
Messaggi: 10
Iscritto il: 18 mag 2013, 12:20

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da kitsune » 21 mag 2013, 12:45

a) la somma di $ q $ numeri dispari consecutivi e' divisibile per $ q $, questo perche' i numeri dispari consecutivi sono della forma $ 2n+1,2n+3,2n+5,...,2n+2q-1 $ e la loro somma vale $ 2qn+1+3+5+...+2q-1 $, $ 2qn $ e' ovviamente divisbile per $ q $ mentre e' risaputo che la somma dei primi $ q $ numeri dispari e' uguale a $ q^2 $ che e' ovviamente divisibile per $ q $.

Questo vuol dire che un numero esprimibile come somma di $ x $ consecutivi numeri dispari e' della forma $ 2xn+x^2 $ dove $ n $ e' la meta' del primo numero dispari della serie decrementato di 1.
Dato che $ 2005=5*401 $ proviamo a risolvere $ 10n+25=2005 $ che da come risultato $ n=198 $ quindi 2005 e' esprimibile come somma di 5 numeri dispari a partire da $ 2*198+1 $, infatti $ 397+399+401+403+405=2005 $

b)no, $ 2006=2*17*59 $, soluzione poco elegante ma basta sostituire alla $ x $ dell'equazione usata sopra 2,17,59,34,118 e 1003 per notare che nessuno da un risultato intero positivo

toti96
Messaggi: 53
Iscritto il: 02 nov 2012, 20:17

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da toti96 » 21 mag 2013, 13:17

il punto a) praticamente l'ho fatto uguale .
per il punto b) si poteva anche dire che dato $ 2006 $ pari allora esso sarebbe dovuto essere somma di un numero pari di numeri dispari.ora poichè un numero dispari è della forma $ 4k+1 $ o $ 4k+3 $ la somma di un numero pari di dispari consecutivi è un multiplo di $ 4 $ mentre $ 2006 $ non lo è

kitsune
Messaggi: 10
Iscritto il: 18 mag 2013, 12:20

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da kitsune » 21 mag 2013, 13:28

toti96 ha scritto:il punto a) praticamente l'ho fatto uguale .
per il punto b) si poteva anche dire che dato $ 2006 $ pari allora esso sarebbe dovuto essere somma di un numero pari di numeri dispari.ora poichè un numero dispari è della forma $ 4k+1 $ o $ 4k+3 $ la somma di un numero pari di dispari consecutivi è un multiplo di $ 4 $ mentre $ 2006 $ non lo è
Avevo notato che la somma di due numeri dispari consecutivi e' divisibile per 4, ma non so come ho fatto a farmi sfuggire che questo vale anche per la somma di un qualunque numero pari di numeri dispari consecutivi :S

tra l'altro non e' richiesto dal problema, ma sotituendo $ 401 $ nell'equazione che ho usato per il punto a) si trova anche che $ 2005 $ e' esprimibile come somma di $ 401 $ numeri dispari consecutivi a partire da $ -395 $

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da Gottinger95 » 30 giu 2013, 18:34

Problema bonus: Quali numeri sono esprimibili come \(x^2 + 2xn\) ? In quanti modi?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

enrico_s
Messaggi: 36
Iscritto il: 02 lug 2013, 19:49

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da enrico_s » 02 lug 2013, 21:59

la somma dei primi n dispari consecutivi è uguale a $ n^2 $ .
Si può pensare al problema come trovare due interi n e k che risolvano $ n^2 - k^2 = 2005 $ con $ n-k>1 $ .
Riscrivo l' equazione come $ (n-k)(n+k)=2005 $
Essendo $ 2005=5*401 $, l'unico sistema che risolve l'equazione è
$ n-k=5 $
$ n+k=401 $

da cui si ricava la soluzione $ n=203 , k=198 $
i numeri cercati sono quelli compresi tra $ 2k+1 $ e $ 2n-1 $
quindi $ 397, 399, 401, 403 $ e $ 405 $

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da Gottinger95 » 03 lug 2013, 14:26

Dai sei a un passo dalla souzione generale!
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

kitsune
Messaggi: 10
Iscritto il: 18 mag 2013, 12:20

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da kitsune » 12 lug 2013, 22:33

Non ho capito se è quello che intendete come soluzione generale ma tutti e solo i numeri esprimibili come prodotto di due numeri aventi la stessa parità possono essere espressi come somma di numeri dispari consecutivi

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da Gottinger95 » 13 lug 2013, 12:58

E' molto vicino alla caratterizzazione finale. Quali numeri \(n\) possono essere espressi come prodotto di due nueri aventi la stessa parità? Prova a dirlo senza tirare in ballo i numeri che moltiplichi per ottenere \(n\), e poi dimostra che tutti gli \(n\) che rispettano quella condizione possono effettivamente essere espressi come \(x^2 + 2xn\).
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

kitsune
Messaggi: 10
Iscritto il: 18 mag 2013, 12:20

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da kitsune » 13 lug 2013, 17:19

Mi sa che mi sfugge qualcosa perchè non riesco a caratterizzare solo i numeri esprimibili come prodotto di due numeri aventi la stessa parità, però riesco a caratterizzare tutti quelli che non sono esprimibili come.prodotto di due numeri aventi la stessa parità ovvero tutti i numeri della forma $ 2(2n+1) $

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da Gottinger95 » 14 lug 2013, 12:06

Esatto. Se svolgi, ti viene \(4n+2\), ossia i numeri congrui a 2 modulo 4. Perciò, affinchè un numero \(n\) sia esprimibile come \(n=x^2 + 2xy\) è necessario che \(n \equiv 0,1,3 \pmod{4}\). Ma è anche sufficiente?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

maurizio43
Messaggi: 181
Iscritto il: 05 lug 2013, 10:27

Re: Somma di dispari consecutivi

Messaggio da maurizio43 » 18 lug 2013, 13:56

Vediamo se riesco a descrivere un metodo generale per ricavare i gruppi di numeri dispari consecutivi la cui somma la cui somma è uguale ad un numero assegnato m . Il caso più semplice è quello con numero assegnato m dispari .
-In tal caso il numero degli addendi consecutivi deve ovviamente essere dispari, e lo indichiamo come 2k+1 .
-Uno di questi addendi è pari alla loro media aritmetica e gli altri addendi sono disposti simmetricamente attorno ad esso (con passo +2 o -2).
-La somma dei 2k+1 addendi non cambia se ad ogni coppia di addendi simmetrici sostituiamo una coppia di addendi uguali al centrale .
-Quindi la somma vale 2k+1 volte l' addendo centrale.
-Cioè il numero assegnato m è multiplo del numero 2k+1 con fattore di molteplicità ovviamente dispari. Cioè m = ( 2n+1 ) ( 2k+1 )
-Quindi : Quale che sia m posso scegliere un suo sottomultiplo 2k+1 a piacere e ricavare i 2k+1 addendi dispari, fissando
come addendo centrale il numero che si ottiene dividendo m per (2k+1) e individuando i primi k dispari consecutivi a destra e a sinistra .
(Naturalmente deve valere la condizione 2n+1 > 2k affinchè non vengano a mancare i numeri a sinistra del centrale ) .

Il caso di numero assegnato m pari è un po' più articolato e si può arrivare a metodi simili, con qualche limitazione in più, per ricavare gli addendi dispari consecutivi (che in questo caso dovranno essere in numero pari).
Ultima modifica di maurizio43 il 06 ago 2013, 09:26, modificato 1 volta in totale.

Rispondi