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Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 15:51
da Gi.
Se dividete $ 1059 $, $ 1417 $ e $ 2312 $ per un certo intero $ n>1 $ ottenete sempre lo stesso resto.
Qual è il numero $ n $?

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 18:21
da LeZ
Testo nascosto:
1059 congruo 1417 congruo 2312 modulo n, quindi an+1059=bn+1417=cn+2312. Se le sottraggo una ad una ottengo n(a-b)=358. n(a-c)=1253. n(b-c)=895. (358,1253,895)=179.

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 18:26
da auron95
Sbaglio o va bene anche $n=1$? :mrgreen:

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 18:32
da LeZ
Credo di non aver mai visto "modulo 1" XD

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 18:33
da Gi.
Si Lez, mi pare corretta, è simile alla mia solo che al posto delle congruenze ho usato la notazione di divisibilità
Testo nascosto:
Chiamiamo k il resto, allora
n|1059-k
n|1417-k
n|2312-k

Come noto la divisibilità si preserva con le combinazioni lineari, quindi

n|1417-k-(1059-k)=358
n|2312-k-(1417-k)=895
n|895-2*358= 179

ma essendo 179 primo n=1(che non funziona) oppure n=179 stesso.
Non in latex, altrimenti sballa tutto.

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 18:39
da LeZ
Tolto il Latex. Sì è uguale la soluzione.

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 19:02
da Drago96
O.o
Cosa vuol dire "non funziona la divisione per 1"? :?

Dati due interi $a,b$ esistono e sono unici due interi $q,r$ con $0\le r<b$ tali che $a=qb+r$. Questa è detta divisione con resto di $a$ per $b$.
Se noi prendiamo $b=1$, allora i due interi sono $q=a,r=0$, ma esistono!

Tutto ciò per dire che ha perfettamente senso, anche se nessuna utilità, dividere per $1$...
E non hai mai visto "modulo 1" perchè i resti possibili sono appunto uno solo ($0$) e non ha appunto nessuna utilità il definire una relazione di equivalenza nella quale tutti gli elementi sono in relazione...

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 19:14
da Gi.
Oddio, non so perchè ma stavo considerando che in generale $ k:1 $ ha resto $ k $, ma l' idea che $ 1 $ divide ogni numero non ha minimamente sfiorato il mio cervello :oops:
Mi scuso con Auron, effettivamente ha ragione lui: correggo il testo.

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 07 mag 2013, 19:44
da auron95
Nessun problema ;)

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 17 ago 2013, 20:56
da ☆zeta
Se un numero X divide A e B allora divide anche A-B perché A = CX e B = DX quindi A-B = X(C-D) quindi quel numero divide sia 1417-1059 = 358 che 2312-1417= 895
ma 358 = 2×179 e 895 = 5×179 quindi il numero cercato è 179

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 17 ago 2013, 21:09
da auron95
Attenzione però: tu non sai che n divide quei numeri, sai solo che quei numeri danno lo stesso resto divisi per n...

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Inviato: 17 ago 2013, 21:22
da ☆zeta
Vero...

Be se il resto è uguale allora lo chiamo R ed ho A = CX + R e B = DX + R quindi A-B = X(C-D) quindi X deve dividere A-B