Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da Gi. » 07 mag 2013, 15:51

Se dividete $ 1059 $, $ 1417 $ e $ 2312 $ per un certo intero $ n>1 $ ottenete sempre lo stesso resto.
Qual è il numero $ n $?
Ultima modifica di Gi. il 07 mag 2013, 19:14, modificato 1 volta in totale.

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da LeZ » 07 mag 2013, 18:21

Testo nascosto:
1059 congruo 1417 congruo 2312 modulo n, quindi an+1059=bn+1417=cn+2312. Se le sottraggo una ad una ottengo n(a-b)=358. n(a-c)=1253. n(b-c)=895. (358,1253,895)=179.
Ultima modifica di LeZ il 07 mag 2013, 18:39, modificato 2 volte in totale.

Avatar utente
auron95
Messaggi: 232
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da auron95 » 07 mag 2013, 18:26

Sbaglio o va bene anche $n=1$? :mrgreen:
This is it. This is your story. It all begins here.

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da LeZ » 07 mag 2013, 18:32

Credo di non aver mai visto "modulo 1" XD

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da Gi. » 07 mag 2013, 18:33

Si Lez, mi pare corretta, è simile alla mia solo che al posto delle congruenze ho usato la notazione di divisibilità
Testo nascosto:
Chiamiamo k il resto, allora
n|1059-k
n|1417-k
n|2312-k

Come noto la divisibilità si preserva con le combinazioni lineari, quindi

n|1417-k-(1059-k)=358
n|2312-k-(1417-k)=895
n|895-2*358= 179

ma essendo 179 primo n=1(che non funziona) oppure n=179 stesso.
Non in latex, altrimenti sballa tutto.
Ultima modifica di Gi. il 07 mag 2013, 19:15, modificato 1 volta in totale.

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da LeZ » 07 mag 2013, 18:39

Tolto il Latex. Sì è uguale la soluzione.

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1144
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da Drago96 » 07 mag 2013, 19:02

O.o
Cosa vuol dire "non funziona la divisione per 1"? :?

Dati due interi $a,b$ esistono e sono unici due interi $q,r$ con $0\le r<b$ tali che $a=qb+r$. Questa è detta divisione con resto di $a$ per $b$.
Se noi prendiamo $b=1$, allora i due interi sono $q=a,r=0$, ma esistono!

Tutto ciò per dire che ha perfettamente senso, anche se nessuna utilità, dividere per $1$...
E non hai mai visto "modulo 1" perchè i resti possibili sono appunto uno solo ($0$) e non ha appunto nessuna utilità il definire una relazione di equivalenza nella quale tutti gli elementi sono in relazione...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da Gi. » 07 mag 2013, 19:14

Oddio, non so perchè ma stavo considerando che in generale $ k:1 $ ha resto $ k $, ma l' idea che $ 1 $ divide ogni numero non ha minimamente sfiorato il mio cervello :oops:
Mi scuso con Auron, effettivamente ha ragione lui: correggo il testo.

Avatar utente
auron95
Messaggi: 232
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da auron95 » 07 mag 2013, 19:44

Nessun problema ;)
This is it. This is your story. It all begins here.

☆zeta
Messaggi: 13
Iscritto il: 13 ago 2013, 20:14

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da ☆zeta » 17 ago 2013, 20:56

Se un numero X divide A e B allora divide anche A-B perché A = CX e B = DX quindi A-B = X(C-D) quindi quel numero divide sia 1417-1059 = 358 che 2312-1417= 895
ma 358 = 2×179 e 895 = 5×179 quindi il numero cercato è 179

Avatar utente
auron95
Messaggi: 232
Iscritto il: 08 lug 2012, 12:20

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da auron95 » 17 ago 2013, 21:09

Attenzione però: tu non sai che n divide quei numeri, sai solo che quei numeri danno lo stesso resto divisi per n...
This is it. This is your story. It all begins here.

☆zeta
Messaggi: 13
Iscritto il: 13 ago 2013, 20:14

Re: Il resto non cambia (ancora Kangourou)

Messaggio da ☆zeta » 17 ago 2013, 21:22

Vero...

Be se il resto è uguale allora lo chiamo R ed ho A = CX + R e B = DX + R quindi A-B = X(C-D) quindi X deve dividere A-B

Rispondi