Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Gi.
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Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Gi. » 06 mag 2013, 21:51

Mi è sembrato abbastanza carino (sebbene sia parecchio facile):

"Qual è il più piccolo numero intero positivo $ n $ tale che le ultime tre cifre del prodotto $ 3999\cdot n $ siano $ 888 $"

Albertobucci95
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Albertobucci95 » 06 mag 2013, 22:03

Forse 112?

Gi.
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Gi. » 06 mag 2013, 22:03

Yep, metti il procedimento, poi metto anche il mio se sono diversi :)

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Lasker
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Lasker » 06 mag 2013, 22:06

$ 3999 \equiv {-1} \pmod {1000} $
$ -n \equiv {888} \pmod {1000} $
$ n \equiv {112} \pmod {1000} $
$ n=112 $

$ 112*3999=447888 $ :D
Ultima modifica di Lasker il 06 mag 2013, 22:10, modificato 1 volta in totale.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 22:09

$ 3999n\equiv 888\pmod {1000} $. Quindi $ -n\equiv -112\pmod {1000} $.$ n=112 \pmod {1000} $.

P.s scusa il doppio post, solo un po' in ritardo xD

Albertobucci95
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Albertobucci95 » 06 mag 2013, 22:13

Il numero $3999$ è congruo a $-1$ mod $1000$ che è quello che ci interessa visto che chiede le ultime 3 cifre, ora siccome $n(-1)$ mod $1000$ è uguale a $-n$ allora $888$ mod $1000$ deve essere congruo a $-n$ cioè $-112$ quindi $n=112$, è comprensibile la dimostrazione? È da poco che comincio a scirverle

Gi.
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Gi. » 06 mag 2013, 22:24

Ok, tutti e tre come la mia :lol:
Altrimenti si può evitare di utilizzare le congruenze, come nella soluzione ufficiale:

$ 3999\cdot2=7998 $, la prima cifra è sistemata, per sistemare la seconda mi serve un 9, quindi addiziono al precedente numero $ 3999\cdot10=39990 $ ed ottengo 47988, per sistemare la terza mi serve un ultimo 9, quindi $ 47988+(3999\cdot100)=447888 $, quindi il numero cercato è $ 2+1\cdot10+1\cdot10^2=112 $.

Ouroboros
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Ouroboros » 06 mag 2013, 22:30

Solo io ragiono da deficiente? :D
La cifra finale é 9 e deve diventare 8: perciò la cifra finale di n deve essere 2: 3999*2=7998
Adesso considero la penultima cifra, ovvero immagino di moltiplicare per x0 ( dove x é una cifra... lo zero nel numero finale verrà sostituito da 2), ora, se devo ottenere un 8 e parto già da 9, per quanto devo moltiplicare? Per 1, cosicché 9*1=9 che sommato al 9 delle decine di 7998 dà 8...
Quindi 3999*10+3999*2=3999*12=47988
Ripeto il ragionamento identico e trovo 112
Ok, é il momento di imparare ad usare i moduli decentemente XD
Edit: visto che ho risolto come nella soluzione ufficiale, posso considerarmi al livello delle medie? XD
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 22:32

Come ragionate su questa? $ 4321n $ termina con $ 1234 $. Trovare il più piccolo $ n $.

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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Ouroboros » 06 mag 2013, 22:37

Da deficiente? :D
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 22:42

Forse è meglio ragionare come i ragazzi delle medie che impostare equazioni della forma $ ax+by=c $ :D (giusto comunque)

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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Ouroboros » 06 mag 2013, 22:52

La morale? Tenere aperta la mente a qualunque metodo di soluzione. Ma già le prime quattro parole sono una buona morale.
Ps: questi sono sfasi da ora tarda, nati dal tentativo di distrarsi dall'idea di dover affrontare domani una simulazione di terza prova ( nella quale, ovviamente, la matematica non centra nulla). Buonanotte!
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 22:58

Cogli in pieno i miei pensieri, distrarsi prima di un compito di latino sulla storiografia ecc..

Gi.
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da Gi. » 07 mag 2013, 15:46

LeZ ha scritto:[...] che impostare equazioni della forma $ ax+by=c $
Momento, momento, momento,... spiega un pochino che metodo intendi(sempre che tu abbia voglia) :mrgreen:

LeZ
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Re: Le ultime tre cifre (Da un Kangourou)

Messaggio da LeZ » 07 mag 2013, 18:04

Si può risolvere anche così: $ 4321a=10000b+1234 $ (che è la stessa cosa). Quindi $ 4321a-10000b=1234 $. $ a=2a_1 $. $ 4321a_1-5000b=617 $. Ora risolvo l'equazione associata $ 4321a_1-5000b=1 $. Quindi $ 5000b-4321a_1=-1 $.$ 5000=4321\cdot1+679 $.$ 4321=679\cdot6+247 $. $ 679=247\cdot2+185 $. $ 247=185\cdot1+62 $. $ 185=62\cdot2+61 $. $ 62=61\cdot1+1 $. Ora torno indietro. $ 1=62-61=62-(185-62\cdot2)=62\cdot3-185=(247-185)\cdot3-185=247\cdot3-185\cdot4=247\cdot3-(679-247\cdot2)\cdot4=247\cdot{11}-679\cdot4=(4321-679\cdot6)\cdot{11}-679\cdot4=4321\cdot{11}-679\cdot{70}=4321\cdot{11}-(5000-4321)\cdot{70}=4321\cdot{81}-5000\cdot{70}=1 $. Segue che $ a=81\cdot{1234} $, $ b=70\cdot{617} $ sono soluzioni. Ma visto che $ a=10000k+9954 $, e $ b=4321k+4301 $, le soluzioni più piccole di questa equazione (identità di Bézout) sono $ a=9954 $ e $ b=4301 $.

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