Cifre uguali

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Triarii
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Cifre uguali

Messaggio da Triarii » 01 mag 2013, 21:40

Probabilmente è già noto a molti, comunque l'ho trovato carino...
Abbiamo il numero $ 7^{1996} $. Si cancella la sua ultima cifra e poi la si aggiunge al numero restante. Si ripete questo procedimento fino a che non otteniamo un numero di 10 cifre. Dimostrare il numero così ottenuto ha almeno 2 cifre uguali.
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Ouroboros
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Re: Cifre uguali

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 22:16

Azzardo una soluzione... ( la metto nascosta, così ci provano tutti)
Testo nascosto:
se ogni volta aggiungo l'ultima cifra, sto semplicemente sommando tutte le cifre fra loro (o meglio, sto facendo un procedimento analogo)... l'obiettivo infatti é di dimostrare che le 10 cifre finali non possono essere tutte diverse, altrimenti il numero finale (ma anche quello iniziale, visto che ogni volta sommo le cifre di cui é composto...) sarebbe divisibile per 3 (basta sommarle, fa 45). Arrivato al numero finale, so che é composto da 8 o 9 cifre di quello iniziale (8 nel caso in cui l'ultima somma sia maggiore di 10, in questo caso la cifra é aumentata di 1), l'ultima é quella della somma: se sono tutte diverse, il numero é divisibile per 3... ma é una potenza di 7! Quindi almeno due cifre sono uguali
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
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pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
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Re: Cifre uguali

Messaggio da Triarii » 01 mag 2013, 22:23

Mmm, non ho capito molto bene l'ultimo passaggio che hai fatto...
Testo nascosto:
Il numero in fondo non è una potenza di 7...
Ma magari ho capito male io!
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Re: Cifre uguali

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 22:36

Io intendevo quello iniziale...
Testo nascosto:
se la sua somma delle cifre risulta essere multipla di 3, é divisibile per 3... ma é una potenza di 7, appunto, quindi non funziona: le cifre non possono essere tutte diverse
O forse sono io ad averlo preso sotto gamba? :-)
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Re: Cifre uguali

Messaggio da Triarii » 01 mag 2013, 22:40

Testo nascosto:
Ok, mi pare corretto. Io l'avevo fatto considerando modulo 9 (non varia mai rispetto alla somme delle cifre), ma anche il 3 mi pare funzioni.
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Re: Cifre uguali

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 22:47

Beh...
Testo nascosto:
credo che il mio discorso valga anche per il 9: del resto, la somma delle cifre é 45 quindi il numero sarebbe anche divisibile per 9
Penso che i nostri ragionamenti siano analoghi, tuttavia ho qualche difficoltà a gestire il procedimento che usi tu... lo comprendo, però mi dovrei esercitare in vista di Cesenatico... credo che lì sia fondamentale utilizzarlo!
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