150. $n!|a^n+1$
Inviato: 24 apr 2013, 15:51
Determina tutti gli interi $n>1$ tali che esista un unico intero $0\leq a<n!$ per il quale: $$n!|a^n+1$$
Dai ci provo.
Se n=2 si ha solo a=1 accettabile, quindi n=2 va bene. Se n è pari e maggiore di 2 si giunge ad un assurdo modulo 4.
Dunque supponiamo n dispari. Sia p un primo qualsiasi che divide n. Si nota che ponendo $a=\frac{n!}{p}-1$ viene meno l'unicità di a. Infatti $(\frac{n!}{p}-1)^n+1=\sum_{i=1}^n {n \choose i} \frac{n!^i}{p^i}$ che è divisibile per n! per ogni i. Ora ci rimangono da controllare i numeri primi.
Poniamo n=p. Prendendo $ a=p!-1 $ si ha una soluzione, dobbiamo dimostrare che è unica. Sia q un qualsiasi primo che divide p! e k la massima potenza di q che divide p!. Da ciò si deduce che $ a^{2p}\equiv 1\pmod{q^k} $ e quindi che l'ordine di a modulo q^k divide 2n. Ma dato che l'ordine divide anche $\phi(q^k)=q^k-q^{k-1}$ si ha che l'ordine è 2 (q e q-1 sono primi con n). Dunque si è arrivati a dimostrare che $ a\equiv-1\pmod{q^k} $. Dato che la relazione trovata vale per ogni fattore primo minore di p! e preso alla sua massima potenza allora vale $ a\equiv-1\pmod{p!} $ che ci assicura l'unicità di a.
Ricapitalonado vanno bene tutti i primi.
