Prodotto tra razionali = intero

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Albertobucci95
Messaggi: 45
Iscritto il: 12 gen 2013, 15:00

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 05 mag 2013, 10:31

Pongo $c\le b\le a$ WLOG

Caso 1: $a\mid c+1$
$a=c+1$ così arrivo a $2\le b(k-1)$, con $k$ intero e $c=kb-2$ da cui le terne: $(3,2,2) (2,1,1)$
Caso 2: $a\mid b+1$
$a=b+1$ ora abbiamo 2 sottocasi: $bc\mid b+2$ oppure $b\mid c+1$ e $c\mid b+1$ da qui le terne: $(3,2,1) (4,3,2)$
Caso 3: $c\le b\le b+1\le a$ segue $a\mid(b+1)(c+1)$ e $ bc\mid a+1$, un po di calcoli e si hanno i sottocasi:
1) $bc=b+c+2$ con $ a=2bc-1$
2) $bc=b+c+3$ con $a=bc-1$
Valide solo se $b$ è diverso da 1, ottengo le terne $(15,4,2) (9,5,2) (8,3,3)$
Rimane da vedere il caso in cui $b=1$
Caso 4:$b=1$ implica anche $c=1$e ottengo $\frac{4(a+1)}{a}$ che è intero solo se $a\mid 4$ e ho le terne finali:$(4,1,1) (1,1,1)$ e $(2,1,1)$ già trovata :)
Ultima modifica di Albertobucci95 il 05 mag 2013, 14:57, modificato 1 volta in totale.

Ouroboros
Messaggi: 73
Iscritto il: 20 feb 2013, 21:42
Località: Milano

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 11:49

É sparita la terna (3, 4, 5) e manca anche (1, 3, 8 )...
Il ragionamento é un po' intricato, l'ho guardato di fretta, prova a vedere in che caso rientrano...
Sono sempre più convinto che ci sia una soluzione generica, ci sono troppe terne :(
Al caso 3 c'è un $ b+1\le b $... correggilo :)
Nel punto 4 hai scambiato a e c ($ a\le b $, se b=1...), quindi le terne sono al rovescio, ma sembra giusto
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da jordan » 05 mag 2013, 13:10

Non ho letto per bene tutte quelle di sopra, ma questa di sotto dovrebbe essere una (abbastanza) veloce:

Dato che $1+x^{-1}>0$ per ogni $x \in \mathbb{R}^+$ allora $\prod_{cyc}{(1+a^{-1})}>1$. In particolare, visto che è intero allora $\prod_{cyc}{(1+a^{-1})}\ge 2$. E' quindi verificato che
\[ 2 \le \prod_{cyc}{(1+a^{-1})} \le \left(1+\min\{a,b,c\}^{-1}\right)^3 \implies \min\{a,b,c\} \le 3 \]
D'altra parte:
\[ 2\le d=\prod_{cyc}{(1+a^{-1})} \le \lfloor (1+\min\{a,b,c\}^{-1})^3 \rfloor \]
Questo significa che, una volta assunto wlog $a\le b\le c$ allora abbiamo:

- se $a=1$ allora $2\le d\le 8$

- se $a=2$ allora $2\le d\le 3$.

- se $a=3$ allora $d=2$.

Una volta fissati sia $a$ che $d$ abbiamo semplicemente \[ b=\frac{(a+1)(c+1)}{dac-(a+1)(c+1)} (*) \]
Questo significa che dobbiamo risolvere al massimo $9$ equazioni della forma (*).
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Albertobucci95
Messaggi: 45
Iscritto il: 12 gen 2013, 15:00

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 05 mag 2013, 15:04

Scusa non mi è molto chiaro il procedimento perchè non conosco molto produttorie e sommatorie in ogni caso se quell'equazione finale è giusta esistono massimo 10 terne tralasciando le permutazioni? Perchè io ne ho trovate 11!

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 05 mag 2013, 17:42

Ogni equazione da risolvere ti può dare più di qualche soluzione.
L'idea di Jordan è quella giusta. Sono più di 11 le soluzioni e l'esercizio in sè è contoso ma non molto difficile.

Ouroboros
Messaggi: 73
Iscritto il: 20 feb 2013, 21:42
Località: Milano

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 18:12

LeZ ha scritto:Ogni equazione da risolvere ti può dare più di qualche soluzione.
L'idea di Jordan è quella giusta. Sono più di 11 le soluzioni e l'esercizio in sè è contoso ma non molto difficile.
Piccola curiosità...
Per risolvere completamente l'esercizio, quindi, non basta avere la formula ma bisogna anche determinare tutte le terne, giusto? Un lavoraccio insomma :D
Può capitare una simile richiesta alle nazionali ( ovvero determinare tutte le soluzioni, che siano però numerose e non assimilabili in terne generiche)? Nel caso, si penalizza molto il non elencare tutte queste soluzioni? ( piuttosto che perdere tempo, sacrificherei qualche punto)
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 05 mag 2013, 20:25

La formula non serve. Io l'ho scritto per bene in mezz'oretta rifacendolo da zero, diciamo che forse è un po' troppo contoso appunto, ma comunque potrebbe capitare di avere come esercizio "trovare tutte le soluzioni intere". Vedremo! :D

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da jordan » 05 mag 2013, 20:49

Cosi contoso a Cesenatico non capiterà mai. E se capita, fidati che c'è una soluzione migliore ;)
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Ouroboros
Messaggi: 73
Iscritto il: 20 feb 2013, 21:42
Località: Milano

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 21:13

jordan ha scritto:Cosi contoso a Cesenatico non capiterà mai. E se capita, fidati che c'è una soluzione migliore ;)
Menomale :)
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 10:34

Vista la confusione, proviamo a mettere ordine scrivendo la soluzione.
Ovviamente l'equazione iniziale è equivalente a : $ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=d $.
Ora faccio delle maggiorazioni. Supponiamo grazie al WLOG che $ a\leq{b}\leq{c} $, allora il massimo valore che può assumere $ d $ è $ 8 $ per $ a=b=c=1 $; il minimo valore che può assumere $ d $ è $ 2 $, infatti $ 1 $ è subito scartato poichè $ 1+\frac{1}{a}>1, \forall a \in \mathbb{R}^+ $.
Ora si tratta di dividere l'esercizio in 7 casi.
Caso 1: $ d=2 $. Noto subito che a non può valere $ 1 $, ma essendo anche il minore tra $ a,b,c $ non può valore più di $ 3 $ poiché $ (1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})<2. $
1.a: Se $ a=2 $ allora (salto un po' di passaggi algebrici)$ b=3+\frac{12}{c-3} $. Da cui le quaterne $ (2,4,15,2);(2,5,9,2);(2,6,7,2) $.
1.b: Se $ a=3 $ allora $ b=2+\frac{6}{c-2} $. Da cui le quaterne $ (3,3,8,2);(3,4,5,2) $.
Caso 2: $ d=3 $. Anche qui, il massimo valore che può assumere $ a $ è $ 2 $, infatti $ (1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})<3 $.
2.a: Se $ a=1 $ allora $ b=2+\frac{6}{c-2} $, da cui le quaterne $ (1,3,8,3);(1,4,5,3) $.
2.b: Se $ a=2 $ allora $ b=1+\frac{2}{c-1} $, da cui la quaterna $ (2,2,3,3) $.
Caso 3: $ d=4 $. Il massimo ma anche il minimo valore che può assumere $ a $ con $ d\geq4 $ è $ 1 $, infatti $ (1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})<4 $.
3.a: Se $ a=1 $ allora $ b=1+\frac{2}{c-1} $, da cui la quaterna $ (1,2,3,4) $.
Caso 4: $ d=5 $. Ricordando che $ a $ può valere solo $ 1 $:
4.a: Se $ a=1 $ allora $ b=\frac{2c+2}{3c-2} $, che è intera solo per $ c=1 $ o $ c=4 $, comunque la quaterna (terna) non ordinata è $ (1,1,4,5) $.
Caso 5: $ d=6 $.
5.a: Se $ a=1 $ allora $ b=\frac{c+1}{2c-1} $ che è intera solo per $ c=1 $ o $ c=2 $, da cui la quaterna $ (1,1,2,6) $
Caso 6: $ d=7 $. Non ci sono soluzioni intere con $ a=1 $.
Caso 7: $ d=8 $. La quaterna corrispondente è $ (1,1,1,8) $.

Spero di non averne dimenticate alcune per strada, ma dovrebbero essere $ 12 $ quaterne.

Ouroboros
Messaggi: 73
Iscritto il: 20 feb 2013, 21:42
Località: Milano

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 06 mag 2013, 14:23

Non era poi così difficile :oops:
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da jordan » 06 mag 2013, 19:03

Ouroboros ha scritto:Non era poi così difficile :oops:
Un esercizio molto simile era IMO92 /1
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Ouroboros
Messaggi: 73
Iscritto il: 20 feb 2013, 21:42
Località: Milano

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 06 mag 2013, 19:32

jordan ha scritto:
Ouroboros ha scritto:Non era poi così difficile :oops:
Un esercizio molto simile era IMO92 /1
Questa affermazione mi ha fatto venire in mente una cosa: i problemi ( anche alle nazionali) sono in ordine di difficoltà (o comunque, idealmente lo sono)?
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 06 mag 2013, 19:48

Ouroboros ha scritto:Questa affermazione mi ha fatto venire in mente una cosa: i problemi ( anche alle nazionali) sono in ordine di difficoltà (o comunque, idealmente lo sono)?
Generalmente sì. L'uno infatti dovrebbe essere l'esercizio abbordabile per tutti. L'ultimo dovrebbe essere l'esercizio per l'oro e qualcosa in più come posizione. Basta vedere un po' gli esercizi proposti negli anni scorsi e ti accorgi da solo.

Rispondi