Prodotto tra razionali = intero

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
LeZ
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Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 10 apr 2013, 19:50

Trovare tutte le soluzioni intere positive $ a,b,c,d $ di:

$ (a+1)(b+1)(c+1)=abcd $
Ultima modifica di LeZ il 10 apr 2013, 22:45, modificato 1 volta in totale.


LeZ
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 10 apr 2013, 22:44

Scusa ho sbagliato, inizialmente il testo voleva essere $ (1+{1\over{a}})(1+{1\over{b}})(1+{1\over{c}})=d $, ma era già un aiuto..

arack
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da arack » 11 apr 2013, 22:51

Butto giù qualche idea, anche se non ho trovato le soluzioni:
Testo nascosto:
1)
$ (1 + \frac{1}a)(1+\frac{1}b)(1+\frac{1}c) = d $
$ a, b, c \ge 1 $
segue subito che il valore massimo che può assumere d è 8.

2)
d dev'essere diverso da 1, altrimenti si avrebbe che
$ (a+1)(b+1)(c+1) = abc $
$ ab + ac + a + bc + b + c + 1 = 0 $

3)
il numero di terne è limitato, in quanto se così non fosse
$ \displaystyle d = \lim_{a \rightarrow +\infty} \frac{abc}{{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}} = 1 $
che va contro il punto 2.

4)
provo a calcolare il valore massimo che può assumere a:
$ \displaystyle 2a = (a+1)(1+\frac{1}b)(1+\frac{1}c) $
$ \displaystyle a = \frac{(1+\frac{1}b)(1+\frac{1}c)}{2 - (1+\frac{1}b)(1+\frac{1}c)} $
ora affinché il denominatore tenda a 0(ma non sia 0) b e c devono valere 2 e 4, perciò
$ \displaystyle a = \frac{(1+\frac{1}2)(1+\frac{1}4)}{2 - (1+\frac{1}2)(1+\frac{1}4)} = 15 $

Se non ho scritto boiate, con un po' di calcoli e sfruttando la simmetria si dovrebbero trovare le soluzioni, anche se sembra un lavoro infernale :evil:
Qualcuno ha una maniera più semplice?

Ouroboros
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 00:29

arack ha scritto:Butto giù qualche idea, anche se non ho trovato le soluzioni
Però era praticamente fatta! Posto che effettivamente a=15 é il massimo, se continuo il ragionamento su a come massimo suppongo che deve dividere (b+1)(c+1) e a+1 deve essere divisibile per bc. Ora, se a é dispari, deve essere scomponibile in due fattori, vero solo per 9 (ma a+1=10 non è divisibile per bc=4) e 15. Se a é pari, deve necessariamente essere una potenza di due, altrimenti non potrebbe dividere (b+1)(c+1), visto che b e c devono essere dispari, però a=8 e a=4 sono entrambe accettabili (terne 8,3,1 e 4,1,1 e loro permutazioni)... ora bisogna considerare se a=b é massimo, però un numero e il suo successivo sono sempre primi fra loro... giungeremmo ad una situazione assurda negli interi. Infine, se a=b=c, allora ho $ (a+1)^3 $ divisibile per $ a^3 $, altra situazione assurda se a non é 1.
Sperando che le tue intuizioni fossero esatte (a parte il limite: non hai scambiato numeratore e denominatore? Vabbé che il risultato é lo stesso...), le soluzioni dovrebbero essere 1,1,1 1,1,4 1,3,8 2,4,15 e permutazioni varie...
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
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tal era io a quella vista nova:
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Albertobucci95
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 01 mag 2013, 14:13

Prendendo $ a=1 $ e $ b=1 $ si trova anche $ c=2 $ da cui le terne $ (1,1,2) $ e esiste anche la terna $ (3,4,5) $

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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 18:37

Albertobucci95 ha scritto:Prendendo $ a=1 $ e $ b=1 $ si trova anche $ c=2 $ da cui le terne $ (1,1,2) $ e esiste anche la terna $ (3,4,5) $
Ok, la prima parte é chiara: mi sono dimenticato di considerare 2 come potenza di 2.... (probabilmente a causa dell'ora tarda)
Ma 3,4,5 non so proprio da dove tirarlo fuori: non rientra per nulla nel mio ragionamento... certo, c+1=6 é divisibile per a, a+1=b e b+1=c.... non ci avevo proprio pensato
Ma.... adesso ci sono tutte le terne? Se puoi proporre una soluzione che permetta di trovarle tutte più facilmente di così... ( io sono andato un po' per tentativi, senza quel a=15 massimo non mi ci sarei mai messo...)
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LeZ
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da LeZ » 01 mag 2013, 18:52

Come l'ho risolto io, l'esercizio è piuttosto lunghetto, infatti ho diviso in vari casi a seconda del valore che può assumere "$ d $".

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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 19:15

LeZ ha scritto:Come l'ho risolto io, l'esercizio è piuttosto lunghetto, infatti ho diviso in vari casi a seconda del valore che può assumere "$ d $".
Una cosa del tipo: se d=7 (per esempio, parto dal valore più alto non banale), allora a+1 é multiplo di 7 ecc ecc... ma sfrttuando sempre a=15 come massimo oppure no?
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 01 mag 2013, 21:56

Guardate io ho fatto un po di casi $ a=b=c, a=b $ e diverso da $ c $ e danno solo le terne $ (1,1,1),(1,1,2) e (1,1,4) $ solo che il caso $ a>b>c $ proprio non ci riesco non so se può aiutare

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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 22:21

E (3,4,5) come l'hai trovato? A tentativi?
Comunque, già affermare che non ci siano altre terne con a=b é qualcosa di più di quello che dicevo io...
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Albertobucci95
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 01 mag 2013, 23:10

Si era un tentativo, comunque ce l'ho fatta :D allora ponendo $ a>b>c $ WLOG perchè gli altri caso li ho già analizzati si ha che $ a $ divide $ (b+1)(c+1) $, $ b $ divide $ (a+1) $ o $ (c+1) $ sfruttando $ M.C.D.(a,a+1)=1 $ si ha che per $ b $ divide $ (c+1) $ l'unica terna accettabile è $ (3,4,5) $ :) mentre per $ b $ divide $ (a+1) $ le terne sono $ (15,2,4) (11,2,4) (9,5,2) (8,3,3) $ se volete chiarimenti o se trovate errori fatemi sapere :mrgreen:

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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 01 mag 2013, 23:36

E, ad esempio, (1,3,8)? O forse intendevi questa terna, visto che (8,3,3) ricade in uno dei casi detti prima (anche se non segnalato)?
Ps: iniziano ad esserci troppe terne: non é che c'è una soluzione più generale?

E poi, la terna con 11 mi sembra sbagliata
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Albertobucci95 » 02 mag 2013, 07:56

Si scusa ho scritto male comunque c'è qualcosa di strano, più tardi la rifaccio da capo comunque per me è la seconda dimostrazione mi ritengo già soddisfatto, un cosa che non ho capito come hai fatto a trovare il massimo di $ a $!?

Ouroboros
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Re: Prodotto tra razionali = intero

Messaggio da Ouroboros » 02 mag 2013, 15:36

Albertobucci95 ha scritto:come hai fatto a trovare il massimo di $ a $!?
Bella domanda! Io ho provato a finire il problema sfruttando le idee di arack, in particolare il punto 4... nel quale ha cercato il limite di "a" ponendo il determinatore tendente a 0. Siccome b e c devono essere interi, come a, ha cercato i valori che approssimassero meglio lo 0, ma in realtà non mi è molto chiaro come abbia ricavato quell'espressione... infatti, nel primo post, l'ho assunto per vero senza sapere se effettivamente lo fosse: volevo semplicemente completare la sua soluzione perché mi sembrava di aver trovato tutte le terne (e mi sbagliavo, di tanto!!)
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