$20\mid x^4-10x^2+9$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da jordan » 01 apr 2013, 23:13

Direttamente da http://math.stackexchange.com :

Sia dato un intero z coprimo con 20 e sia fissato il polinomio $p(x)=x^4-10x^2+9$. Dimostrare che $20 \mid p(z)$.

Bonus. Trovare il piu' grande intero $k$ tale che $k\mid p(z)$, qualunque sia $z$ intero coprimo con $20$.





Edited: thanks Triarii
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Triarii
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Re: $20\mid x^4-10x^4+9$

Messaggio da Triarii » 01 apr 2013, 23:18

Sono tutti e due degli $ x^4 $?
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wall98
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Re: $20\mid x^4-10x^4+9$

Messaggio da wall98 » 01 apr 2013, 23:58

Ok ci provo,spero di non aver sbagliato,dunque
abbiamo che $ \displaystyle 20|p(z) $ se e solo se $ \displaystyle 4|p(z) $ e $ \displaystyle 5|p(z) $,dimostriamo prima per 4
$ \displaystyle z^4-10z^2+9\equiv0\pmod{4} $
$ \displaystyle z^4 $ è un quadrato dispari perche coprimo con 20,quindi è congruo ad 1 mod 4(stesso ragionamento per $ \displaystyle z^2 $,e riscriviamo
$ \displaystyle 1-10+9\equiv0\pmod{4} $ come si puo verificare
ora dimostriamo che è divisibile per 5
$ \displaystyle z^4-10z^2+9\equiv0\pmod{5} $ ora per il piccolo teorema di fermat $ \displaystyle z^4\equiv1\pmod{5} $ perche 4 e il phi di 5(come si fa il phi di eulero in latex?)
ora $ \displaystyle z^2 $ al quadrato è congruo ad 1 mod 5,quindi puo essere solo $ \displaystyle z^2\equiv1\pmod{5} $ oppure $ \displaystyle z^2\equiv4\pmod{5} $
quindi si riscrive $ \displaystyle 1-10+9\equiv0\pmod{5} $ nel caso congruo ad 1
quindi si riscrive $ \displaystyle 1-40+9\equiv0\pmod{5} $ nel caso congruo a 4
funziona in tutti e due i casi
ora dato che è divisibile per 5 e 4,lo è anche per 20
fatemi sapere se è giusto,ciao :)
inoltre tutto cio era inutile perche $ \displaystyle 10x^2 $ sarebbe comunque congruo a 0 mod 5
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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da jordan » 02 apr 2013, 00:02

Edited: giusto, anche col testo vecchio :wink: Prova ora a risolvere il bonus, o almeno a trovarne uno piu' grande di $20$, ammesso che $20$ non sia già il piu' grande possibile..
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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da wall98 » 02 apr 2013, 00:19

forse ho qualche idea sul bonus,ma mi manca ancora da fare il ragionamento e poi formalizzarlo,pero mi stanno tartassando di andare a dormire,provo domani,ciao :D
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Tommaso7
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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da Tommaso7 » 02 apr 2013, 00:19

può darsi che il bonus sia 1920?

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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da jordan » 02 apr 2013, 00:21

Tommaso7 ha scritto:può darsi che il bonus sia 1920?
Esatto, perchè?

Edit, per wall98: la phi si fa con \ phi oppure \ varphi
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Tommaso7
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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da Tommaso7 » 02 apr 2013, 00:45

$ p(x)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-3)(x-1)(x+1)(x+3) $
z può essere solo dispari $ z=2h+1 $
$ p(h)=(2h-2)(2h)(2h+2)(2h+4) $
$ p(h)=2^4*(h-1)(h)(h+1)(h+2) $
$ (h-1)(h)(h+1)(h+2) $ sono quattro numeri interi consecutivi e quindi uno necessariamente deve essere divisibile per 2, uno per 3, uno per 4
ma z deve essere coprimo con 20 e quindi con 5 ma quindi $ (z-3)(z-1)(z+1)(z+3) $ deve essere anche divisibile per 5
quindi il polinomio $ p(z) $ è sicuramente divisibile per $ 2^4*2*3*4*5=2^7*3*5=1920 $

infine proviamo $ z=7 $ (minimo z possibile) $ p(7)=4*6*8*10=1920 $

dovrei esserci!
Ultima modifica di Tommaso7 il 02 apr 2013, 01:04, modificato 3 volte in totale.

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Re: $20\mid x^4-10x^2+9$

Messaggio da jordan » 02 apr 2013, 00:50

Edited, molto bene!
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