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Trovare tutti gli interi $x,y$ tali che \[ x^2+32x=y^3 \]

Ps. Nella mia soluzione ho dovuto utilizzare il fatto che la curva $X^3+Y^3=2^k$ non ha soluzioni razionali per $k \in \mathbb{N}$: so solo che è stato dimostrato da Eulero per $k\in \{0,1,2\}$ e poi da Dirichlet per il caso generale, ma non ho idea di come si prova.. qualcuno ha idee migliori?

Dato il tuo ps. immagino di star per dire tante fesserie.
Possiamo riscrivere come:

$ x(x+32)=y^3 $

quindi sia $ x $ che $ x+32 $ sono cubi perfetti

$ x=k^3 $
$ x+32=t^3 $

sottraggo membro a membro la seconda dalla prima

$ t^3-k^3=32 $
$ (t-k)(t^2+tk+k^2)=32 $

Adesso distribuendo i fattori, tenendo conto che il secondo fattore è sempre positivo e maggiore del primo, si dovrebbe risolvere.

Non è detto che in un prodotto i fattori debbano essere cubi perfetti: ad esempio $ 2*5^2 $ e $ 5*2^2 $ moltiplicati fra loro danno un cubo perfetto , ma nessuno di essi è un cubo perfetto

Quello che hai scritto sopra, difatti, risolve il solo caso $x$ dispari (perchè?)

$ x^2+32x=y^3 $
$ x^3+x^2+32x=x^3+y^3 $
$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $
$ x(x^2+x+32)=x^3(1+k)(1+k^2-k) $
$ x^2+x+32=x^2(1+k^3) $
$ x^2k^3-x-32=0 $

$ x=\displaystyle\frac{1+-\sqrt{1+128k^3}}{2k^3} $

$ 1+128k^3=n^2 $
$ 128k^3=(n-1)(n+1) $

abbiamo due casi

1) $ k=2h $ $ n=2z+1 $
$ 128*8h^3=(2z)(2(z+1)) $
$ 128*2h^3=z(z+1) $ ma $ 128*2h^3 $ non può essere essere prodotto di due interi consecutivi (basta provare con $ h=1,3,5 $)

2) $ k=2h+1 $ $ n=2z+1 $
$ 128(2h+1)^3=4z(z+1) $
$ 32(2h+1)^3=z(z+1) $ ma anche quì $ 32(2h+1)^3 $ non può essere prodotto di due interi consecutivi (basta provare con $ h=0,1,2 $)

spero sia giusto!

Messo in un'altra prospettiva, la trasformazione $x \mapsto x-16$ manda l'equazione nella curva di Mordell $x^2=y^3-224$. A questo punto o si va a vedere le tavole, o si dice che, per il teorema di Nagell-Lutz, $x$ è un divisore quadrato di $27 \cdot 224$ e si provano i casi a mano.

Tommaso7 ha scritto:...$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $

No, trova l'errore

@enigma: ma questo è barare..

jordan ha scritto:

Tommaso7 ha scritto:...$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $

No, trova l'errore

hai ragione che mongolo

<enigma> ha scritto:... o si dice che, per il teorema di Nagell-Lutz, $x$ è un divisore quadrato di $27 \cdot 224$ e si provano i casi a mano.

Mhh, veramente con quella sostituzione va in $x^2=y^3+256$, che a sua volta va in $x^2=y^3+4$, mi sembra, ma non ha importanza. Piuttosto mi chiedo, senza guardare le tavole, per concludere con Nagell-Lutz devi sapere anche che il rango è 0, che non mi sembra immediato.
La 2-discesa "classica" porta a studiare la risolubilità in $\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{4})$ di 8 equazioni quadratiche, che sono probabilmente semplici, ma non ho provato a farlo. Forse, come a volte capita, si può fare una discesa migliore usando la moltiplicazione complessa per la radice cubica di 1, invece che la "solita" moltiplicazione per 2. Oppure mi sta sfuggendo qualche motivo ovvio per cui il rango deve essere 0?

jordan ha scritto:Quello che hai scritto sopra, difatti, risolve il solo caso $x$ dispari (perchè?)

Vista la mia inettitudine nella risoluzione di diofantee sto forzando me stesso per capire come si risolvano (ottenendo qualche gradevole risultato), ordunque rispolvero qualche vecchio problema.

$ x^2+32x=y^3 $

$ x(x+32)=y^3 $

Se $ gcd(x,x+32)=1 $, allora potrei concludere che sia $ x $ che $ x+32 $ devono essere cubi perfetti (infatti nella loro PPF non vi sono fattori comuni, quindi ogni esponente deve essere elevato al cubo affinché il loro prodotto sia a sua volta un cubo). Il caso con $ x $ pari è palesemente privo di ogni tipo di speranza in quanto detto (vi è un fattore 2 in entrambi).

$ x $ dispari, pongo $ x=2x_1+1 $

Voglio analizzare $ gcd(2x_1+1,2x_1+1+32) $.
E' noto che $ gcd(a,a+b)=gcd(a,b) $, quindi $ gcd(2x_1+1,2x_1+1+32)=gcd(2x_1+1,32) $, ma $ v_2(2_x+1)=0 $ e 32 contiene solo fattori 2 nella sua PPF, da cui la tesi.

Da qui posso procedere come fatto nel primo post e trovare le soluzioni con $ x $ dispari.
Il caso con $ x $ pari non credo sia alla mia portata.

Non possiamo dividere il problema nei seguenti sottocasi?
1)$x=n^3$
2)$x=x_1^3n^2$
3)$x=x_1^3n$
4)$x=x_1^3mn^2$
Dal primo caso otteniamo $n^3+32=k^3$, impossibile e facile da dimostrare anche solo per tentativi ($4^3-3^3>32$ e $3^3<32$).
Dal secondo caso otteniamo $x_1^3n^2+32=k^3n$ cioè $32=n(k^3-x_1^3n)$ quindi $n=2^p$ e $k^3-x_1^32^p=2^q$ ma con $p<5$ è impossibile.
Dal terzo caso otteniamo $x_1^3n+32=k^3n^2$ cioè $32=n(k^3n-x_1^3)$ da cui $n=2^p$ e $k^32^p-x_1^3=2^q$ che è impossibile con $p<5$.
Dal quarto caso otteniamo $x_1^3mn^2+32=k^3m^2n$ cioè $32=mn(k^3m-x_1^3n)$ quindi $m=2^p$ e $n=2^q$. Se $p>q$ avremo $32=2^{p+q}(2^p(k^32^{q-p}-x_1^3))$, impossibile con $p,q<5$. Se $p>q$ avremo $32=2^{p+q}(2^q(k^3-x_1^32^{p-q}))$, impossibile con $p,q<5$. I casi dell'inizio dovrebbero essere gli unici possibili poichè ogni fattore $x_1^3$ di $x$ può essere semplificato da $x$ poichè dovrà essere necessariamente fattore anche di $y^3$. Non sono sicurissimo che i casi che ho definito impossibili siano effettivamente tutti impossibili.
Non so se è corretto, ditelo voi.