Somma dei reciproci.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gi.
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Somma dei reciproci.

Messaggio da Gi. » 11 feb 2013, 11:43

Per ogni intero $ n>1 $, trovare degli interi positivi distinti $ x $ e $ y $ tali che

$ \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} $

toti96
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Re: Somma dei reciproci.

Messaggio da toti96 » 11 feb 2013, 19:51

Ci provo. comincio con il notare che l'equazione è simmetrica e poniamo quindi $ y=x+k $. possiamo quindi riscrivere come
$ \displaystyle x(x+k)=(2x+k)n $
$ \displaystyle x^2+x(k-2n)-kn=0 $.risolvo nell'incognita $ x $
$ \displaystyle x_{1,2}=\frac {2n-k\pm\sqrt{(2n-k)^2+4kn}}{2} $(non ho idea di come si faccia il più o meno XD). sviluppando otteniamo che
$ 4n^2+k^2=m^2 $ con $ m \in \mathbb N $ perchè $ x $ sia intero. notiamo che un $ k $ possibile è $ k=n^2-1 $ da cui $ m=n^2+1 $. tenendo conto che $ x>0 $ è evidente che dobbiamo riscrivere l'algoritmo risolutivo come :$ \displaystyle x_{1}=\frac {2n-n^2+1+n^2+1}{2} $ cioè $ x=n+1 $. dato $ y=x+k=n+1+n^2-1 $ $ y=n(n+1) $ .sono quindi soluzione le coppie $ (n+1),(n^2+n) $ per ogni $ n>1 $ e sostituendo si verifica facilmente la veridicità di ciò.
Ultima modifica di toti96 il 11 feb 2013, 20:09, modificato 1 volta in totale.

Gi.
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Re: Somma dei reciproci.

Messaggio da Gi. » 11 feb 2013, 20:03

Si, esatto :D
Io l' ho risolta provando i primi due casi ($ n=2 $ e $ n=3 $), dai quali ho congetturato le soluzioni da te trovate, che poi ho dimostrato con un poco di algebra.

p.s. il $ \pm $ si fa scrivendo \pm.

toti96
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Re: Somma dei reciproci.

Messaggio da toti96 » 11 feb 2013, 20:09

edito subito per rendere decente l'algoritmo XD

LeZ
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Re: Somma dei reciproci.

Messaggio da LeZ » 12 feb 2013, 00:14

Moltiplico: $ yn+xn=xy $. Pongo $ x=ca $, $ y=cb $. Allora $ nc(a+b)=c^2ab $, $ n=c\cdot{(a+b)\over{ab}} $. Se $ c=k(a+b) $, allora semplifico $ k $ e ottengo la terna $ (x,y,n)=(a(a+b),b(a+b),ab) $

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