Vi pongo questo problema dimostrativo della gara provinciale del 98, anche in vista di una preparazione per chi è interessato!
Dato un numero intero positivo $ M $ la cui scrittura decimale è $ a_n a_{n-1} ... a_0 $ (cioè $ M $ è uguale a $ 10^na_n+...+10a_1+a_0 $) con $ 0 \le a_0, ..., a_n \le 9 $, sia $ f(M) = a_n + 2a_{n-1} + 2^2a_{n-2} + ... + 2^na_0 $ (si intende che se $ M=a_0 $, $ f(M)=a_0 $).
1. Si determini l'insieme $ X $ di tutti gli interi positivi per cui $ f(M) = M $.
2. Si dimostri che, per ogni intero positivo $ M $, la successione $ M $, $ f(M) $, $ f(f(M)) $, $ f(f(f(M))) $, $ ... $ contiene un elemento di $ X $.
Sinceramente spero in qualcosa di più semplice alla gara visto che ce ne dovrebbero essere 3 così più altri 14 da fare in tre ore... E per scrivere una bella soluzione lineare per questo ci ho messo quasi un'ora.
Febbraio 98
Febbraio 98
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Re: Febbraio 98
Qualche idea lampo, poi provo a svolgerlo bene domani.
Innanzitutto "giriamo" i termini di $f(M)$ per comodità:
$f(M)=2^na_0+...+2_{an-1}+a_n$
$M=10^na_n+...+10a_1+a_0$
Proviamo qualche caso:
$n=0$ (M ad una sola cifra)
$M=a_0$
$f(M)=a_0$
Banalmente abbiamo $M=f(M) \forall a_0$,con $0<a_0\le9$.
$n=1$ (M a due cifre)
$M=10a_1+a_0$
$f(M)=2a_0+a_1$
vogliamo che queste due espressioni siano uguali, per cui
$10a_1+a_0=2a_0+a_1$
$9a_1-a_0=0$
banalmente $a_1=1$ e $a_0=9$, per cui $ M=19 $
$n=2$ (M a tre cifre)
$M=10^2a_2+10a_1+a_0$
$f(M)=2^2a_0+2a_1+a_2$
per cui arriviamo a
$99a_2+8a_1-3a_0=0$
$a_2$ non puo' essere uguale a 0, banalmente perché altrimenti non siamo nel caso $n=2$ (il numero avrebbe due cifre e non tre), riscriviamo come
$3(33a_2-a_0)+8a_1=0$
Sempre positivo, non ci sono soluzioni.
Adesso all' aumentare di $n$ aumentano i valori dei numeri, ad esempio il caso $n=3$ porta a
$999a_3+98a_2+6a_1-7a_0=0$
volendo possiamo fare lo stesso lavoro di prima
$3(333a_3+2a_1)+7(14a_2-a_0)=0$
Sempre positivo, per cui nessuna soluzione.
A questo punto i numeri continuano a crescere e intuitivamente possiamo affermare che non vi sono altre soluzioni oltre a quelle trovate. Per cui l' insieme é $X= (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19 )$ (ho messo le tonde perché non riesco a mettere le graffe).
Il punto 2 lo tento domani.
Innanzitutto "giriamo" i termini di $f(M)$ per comodità:
$f(M)=2^na_0+...+2_{an-1}+a_n$
$M=10^na_n+...+10a_1+a_0$
Proviamo qualche caso:
$n=0$ (M ad una sola cifra)
$M=a_0$
$f(M)=a_0$
Banalmente abbiamo $M=f(M) \forall a_0$,con $0<a_0\le9$.
$n=1$ (M a due cifre)
$M=10a_1+a_0$
$f(M)=2a_0+a_1$
vogliamo che queste due espressioni siano uguali, per cui
$10a_1+a_0=2a_0+a_1$
$9a_1-a_0=0$
banalmente $a_1=1$ e $a_0=9$, per cui $ M=19 $
$n=2$ (M a tre cifre)
$M=10^2a_2+10a_1+a_0$
$f(M)=2^2a_0+2a_1+a_2$
per cui arriviamo a
$99a_2+8a_1-3a_0=0$
$a_2$ non puo' essere uguale a 0, banalmente perché altrimenti non siamo nel caso $n=2$ (il numero avrebbe due cifre e non tre), riscriviamo come
$3(33a_2-a_0)+8a_1=0$
Sempre positivo, non ci sono soluzioni.
Adesso all' aumentare di $n$ aumentano i valori dei numeri, ad esempio il caso $n=3$ porta a
$999a_3+98a_2+6a_1-7a_0=0$
volendo possiamo fare lo stesso lavoro di prima
$3(333a_3+2a_1)+7(14a_2-a_0)=0$
Sempre positivo, per cui nessuna soluzione.
A questo punto i numeri continuano a crescere e intuitivamente possiamo affermare che non vi sono altre soluzioni oltre a quelle trovate. Per cui l' insieme é $X= (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19 )$ (ho messo le tonde perché non riesco a mettere le graffe).
Il punto 2 lo tento domani.
Ultima modifica di Gi. il 09 feb 2013, 14:05, modificato 1 volta in totale.
Re: Febbraio 98
Esatto! I valori sono quelli!
(escluso lo $ 0 $ che non è positivo )
(escluso lo $ 0 $ che non è positivo )
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
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Re: Febbraio 98
giusto per essere un po' puntigliosi: i valori sono quelli, ma la dimostrazione è incompleta. è chiara l'idea ed è chiaro dove vuoi andare a parare, ma quello che hai scritto non è da punteggio pieno. (e infatti hai detto che "domani proverai a svolgerlo per bene"...)
Re: Febbraio 98
L'idea che doveva venire ti è più o meno venuta; il problema ora è dimostrare che per n abbastanza grandi (in realtà si scopre che sono abbastanza piccoli) vale $M>f(M)$
Come fare? Bisogna vedere i valori limite di M e di f(M), anche con cifre diverse, e ottenere le solite disuguaglianze larghissime di TdN...
Per il punto 2 basta sfruttare il fatto che la sequenza delle f(M) sia decrescente, facendo attenzione ai casi di uguaglianza...
Come fare? Bisogna vedere i valori limite di M e di f(M), anche con cifre diverse, e ottenere le solite disuguaglianze larghissime di TdN...
Per il punto 2 basta sfruttare il fatto che la sequenza delle f(M) sia decrescente, facendo attenzione ai casi di uguaglianza...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Febbraio 98
Per il punto due credo di aver capito: la successione è decrescente, ma essendo nei naturali non può decrescere oltre lo 0, quindi prima o poi incontrerà un numero $ k $ appartenente ad $ X $ per il quale la successione continua ad assumere il valore $ k $ ad ogni iterazione.
Per il punto uno, il caso limite (cioè quello in cui $ f(M) $ e $ M $ sono maggiori) è quello in cui $ a_i=9 $ $ \forall i\ge 0 $, in questo caso
$ f(M)=9(2^n+2^{n-1}+...+2+1) $
quella dentro parentesi è una serie geometrica, per cui
$ f(M)=9(2^{n+1}-1) $
che per ogni $ n \ge 2 $ risulta minore di $ M $.
Per il punto uno, il caso limite (cioè quello in cui $ f(M) $ e $ M $ sono maggiori) è quello in cui $ a_i=9 $ $ \forall i\ge 0 $, in questo caso
$ f(M)=9(2^n+2^{n-1}+...+2+1) $
quella dentro parentesi è una serie geometrica, per cui
$ f(M)=9(2^{n+1}-1) $
che per ogni $ n \ge 2 $ risulta minore di $ M $.
Re: Febbraio 98
In realtà il "caso limite" che hai fatto tu è uno solo, cioè, hai massimizzato le cifre...
Io invece intendevo analizzare i casi limite di $M$ e $f(M)$ separatamente: se il più piccolo valore che può assumere $M$ è più grande del massimo valore di $f(M)$ sei a posto
Io invece intendevo analizzare i casi limite di $M$ e $f(M)$ separatamente: se il più piccolo valore che può assumere $M$ è più grande del massimo valore di $f(M)$ sei a posto
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Re: Febbraio 98
Giusto.
Il caso limite di $ M $ è quando tutti i suoi $ a_i $ sono uguali a 0, tranne $ a_n $ che vale 1, per cui in sostanza rimane $ 10^n $ che risulta maggiore del caso limite di $ f(M) $ per ogni $ n>1 $.
Il caso limite di $ M $ è quando tutti i suoi $ a_i $ sono uguali a 0, tranne $ a_n $ che vale 1, per cui in sostanza rimane $ 10^n $ che risulta maggiore del caso limite di $ f(M) $ per ogni $ n>1 $.