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Sia $n$ un intero positivo fissato e siano $a$ e $b$ numeri razionali tali che $a^2+b^2=2n^2$.

Dimostrare che, per infiniti valori di $n$, esiste un intero $k$ tale che $\frac{(a+k)+(b+k)}{(a+k)^2+(b+k)^2}$ è costante.

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Editato nuovamente.

Bonus: trovare TUTTI i valori di $k$ in funzione di $n$

Funziona per qualsiasi $n$, basta scegliere $k=n$ o $k=-n$: nel primo caso si ottiene $ \displaystyle\frac{(a+n)+(b+n)}{(a+n)^2+(b+n)^2}=\frac{1}{2n} $; nel secondo $ \displaystyle\frac{(a-n)+(b-n)}{(a-n)^2+(b-n)^2}=-\frac{1}{2n} $
BONUS.
Sia $T_n=\{(a,b) \ : \ a,b\in \mathbb{Q}^2, \ a^2+b^2=2n^2\}$
Dimostreremo che, per ogni intero positivo $n$, gli unici valori interi di $k$ tali che $ \displaystyle\frac{(a+k)+(b+k)}{(a+k)^2+(b+k)^2} $ è costante per ogni $(a,b)\in T_n$ sono $k=n, k=-n$.
Supponiamo per assurdo che per un certo $n$ esista $k\not\in\{+n, -n\}$ che soddisfi.
Osserviamo che $ (n, n)\in T_n $. Dato che $k\neq -n$, deve valere $ \displaystyle\frac{(a+k)+(b+k)}{(a+k)^2+(b+k)^2}=\frac{1}{n+k} $, ossia $(a+b)(n-k)=2n(n-k)\to a+b=2n$ perchè $k\neq n$. Ma $ \displaystyle \biggl(\frac{1}{5}n,\frac{7}{5}n\biggl)\in T_n $: assurdo.