Primi e progressione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Triarii
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Primi e progressione

Messaggio da Triarii » 22 gen 2013, 16:12

Dimostrare che nella progressione aritmetica $ 6n+5 $ esistono infiniti primi (non vale usare il teorema generale di Dirichlet ovviamente :P)
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Sir Yussen
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Re: Primi e progressione

Messaggio da Sir Yussen » 22 gen 2013, 16:35

Sia $P$ un numero primo grande a caso e definiamo $P! = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot P$. Sappiamo che se $p$ è primo, allora può essere solo $p \equiv 1$ o $\equiv -1 \pmod{6}$. Consideriamo il numero $P!-1$ (con $P>5$) : esso ha tutti fattori
primi $>P$ ed è $\equiv -1 \pmod{6}$: quindi, ha sicuramente un fattore primo $q > P$ tale che $q \equiv -1 \pmod{6}$. Ora consideriamo un altro grande primo $P_1 > q$ e consideriamo $P_1! -1 \equiv \pmod{6}$: come per prima, esiste un fattore primo $q_1> P_1 > q$ tale che $q_1 \equiv -1 \pmod{6}$. E quindi via per induzione! E infiniti primi belli! Yee! Abbiamo vinto!

Triarii
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Re: Primi e progressione

Messaggio da Triarii » 22 gen 2013, 20:15

Perdona la mia ignoranza, ma com'è che P! ha fattori primi maggiori di p? Proprio non cvi arrivi, anche nella parte dove dici che deve avere un q congruo a -1 :oops:
Edit: sono un idiota
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Gi.
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Re: Primi e progressione

Messaggio da Gi. » 11 mag 2013, 14:38

Dimostrare che vi sono infiniti primi nella progressione $ 6n+5 $ è equivalente al dimostrare che ve ne sono infiniti in quella $ 6n-1 $. Osserviamo che le due progressioni $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ producono tutti i primi al variare di $ n $ ad eccezione di $ 2 $ e $ 3 $. Supponiamo vi siano un numero finito di primi della forma $ 6n-1 $ e siano essi $ q_1,q_2,...,q_n $, definiamo il numero

$ M=6(q_1q_2q_3...q_n)-1 $

Iniziamo con l' osservare che nè $ 2 $ nè $ 3 $ dividono $ M $, quindi $ M $ può essere scritto come prodotto di primi delle due forme precedentemente citate, ma non può essere composto interamente da primi della forma $ 6n+1 $ dato che il prodotto di due numeri di questo tipo è a sua volta di questo tipo, quindi deve contenere almeno un primo della forma $ 6n-1 $, ma esso deve essere diverso da tutti i vari $ q_i $ perchè $ M $ ha resto $ -1 $ nella divisione per ognuno di essi, quindi o vi è un primo della forma $ 6n-1 $ diverso da ognuno dei $ q_i $ oppure $ M $ è a sua volta un primo di tale forma diverso da ognuno dei $ q_i $.
I due casi portano entrambi alla tesi.


p.s. scusate la necrofilia, ma ho trovato questo esercizio proposto in "che cos' è la matematica" ed ho pensato di postare la mia soluzione qui :roll:

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jordan
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Re: Primi e progressione

Messaggio da jordan » 13 mag 2013, 15:19

Sir Yussen ha scritto:...e definiamo $P! = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot P$
Credo (tu) intenda il primoriale $P\#$.
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