Divisibilità dagli usamo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Divisibilità dagli usamo

Messaggio da jordan » 21 gen 2013, 17:41

Mostrare che per ogni intero $n\ge 2$ esiste un insieme $S$ tale che $|S|=n$ e $(a-b)^2 \mid ab$ per ogni $a \in S, b \in S$ tali che $a \neq b$.
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toti96
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da toti96 » 21 gen 2013, 18:10

scusa per le domande stupide jordan ma chiedo due cose: $ |S|=n $ indica la cardinalità di $ S $ giusto??e non mi è chiaro ma possiamo costruire l'insieme anche con alcuni elementi $ a \in S, b \in S $ tali che $ a=b $ per cui la divisibilità non è valida oppure devono essere tutti $ a\neq b $??perchè se possiamo supporre $ a=b $ appartenenti all'insieme possiamo sempre costruirlo come un $ S $ con $ n-1 $ elementi tutti uguali ad $ a-1 $ ed un solo elemento $ a $. così la proprietà si trasforma in $ (a-a+1)^2\mid a(a-1) $ sempre vero.

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jordan
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da jordan » 21 gen 2013, 18:49

toti96 ha scritto:$ |S|=n $ indica la cardinalità di $ S $ giusto??
Giusto
toti96 ha scritto:e non mi è chiaro ma possiamo costruire l'insieme anche con alcuni elementi $ a \in S, b \in S $ tali che $ a=b $ per cui la divisibilità non è valida oppure devono essere tutti $ a\neq b $??
La relazione deve essere valida per ogni $a\neq b$ (altrimenti il problema non sarebbe definito, $0\mid ab$ per qualche $a,b >0$ non ha senso)..
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da Troleito br00tal » 21 gen 2013, 20:03

Mi pare che nella definizione di insieme sia detto tipo:

"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Credo.

Spero.

toti96
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da toti96 » 21 gen 2013, 20:22

Troleito br00tal ha scritto:Mi pare che nella definizione di insieme sia detto tipo:

"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Credo.

Spero.
ok scusate sono un idiota ..me ne torno nel mio angolino a piangere per la demenza e la vergogna XD

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jordan
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da jordan » 21 gen 2013, 20:52

Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."
Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?
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Troleito br00tal
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da Troleito br00tal » 21 gen 2013, 21:13

toti96 ha scritto:
ok scusate sono un idiota ..me ne torno nel mio angolino a piangere per la demenza e la vergogna XD
Tranquillo, io ho fatto il figo leggendo Wikipedia.

scambret
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da scambret » 21 gen 2013, 22:24

jordan ha scritto:
Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."
Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?
Se avessi tolto quel "ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo", avevo intenzione di farlo domani a scuola.. Ma leggendo quella frase :evil: :twisted: :roll: :P :lol: :lol: 8)

Triarii
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da Triarii » 21 gen 2013, 22:32

scambret ha scritto:
jordan ha scritto:
Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."
Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?
Se avessi tolto quel "ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo", avevo intenzione di farlo domani a scuola.. Ma leggendo quella frase :evil: :twisted: :roll: :P :lol: :lol: 8)
Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo :lol:
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da spugna » 22 gen 2013, 17:54

Triarii ha scritto: Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo :lol:
Non c'è due senza tre :P
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da Ido Bovski » 23 gen 2013, 10:09

Beh, per induzione non mi sembra difficilissimo...
Testo nascosto:
Chiamo $S_n$ l'insieme con cardinalità $n$. Voglio costruire $S_{n+1}=\{x+m: x\in S_n\}\cup \{0\}$. Come scelgo $m$?

mat94
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da mat94 » 23 gen 2013, 10:53

$m=lcm( (a-b)^2,ab)$ ???

Ido Bovski
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da Ido Bovski » 23 gen 2013, 10:58

mat94 ha scritto:$m=lcm( (a-b)^2,ab)$ ???
sì, con $a, b$ che variano in $S_n$ :wink:

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jordan
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Re: Divisibilità dagli usamo

Messaggio da jordan » 24 gen 2013, 02:36

Ido Bovski ha scritto:Beh, per induzione non mi sembra difficilissimo...
E' stata la prima cosa che ho pensato, e non ci ho cavato niente (probabile errori miei di conto): ho provato anche a moltiplicare tutti gli elementi di $S_n$ per un costante $k$ e cercare un intero $0<x<\min\{kS_n\}$ tale che $S_{n+1} =kS_n \cup x$, idem, nada :roll:
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