Diofantea dalle dispense

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gi.
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Diofantea dalle dispense

Messaggio da Gi. » 10 gen 2013, 22:40

Trovata in una dispensa che circola sul web.

Determinare tutte le terne $ (m,n,p) $ tali che $ p^n +144=m^2 $, dove m e n sono interi positivi e p è intero primo.

$ m^2-144=p^n $

$ (m+12)(m-12)=p^n $

Adesso risulta

$ ab=c^n \Leftrightarrow a=x^n, b=y^n $

ma p è un primo, quindi non è composto, quindi uno dei due fattori dell' espressione di sopra deve essere 1 o -1 (se si accetta che l' opposto di un primo è ancora un primo):

con $ m+12=\pm 1 $ mi pare non si giunga a nessuna terna, mentre con $ m-12=\pm 1 $ si giunge alla terna $ (13,2,5) $, che sembrerebbe essere l' unica terna "buona". E' corretta?

Esiste qualche altro approccio intelligente ed istruttivo al problema?

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Drago96
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Re: Diofantea dalle dispense

Messaggio da Drago96 » 11 gen 2013, 14:25

Gi. ha scritto:$ ab=c^n \Leftrightarrow a=x^n, b=y^n $
Questo è sbagliato e anzi, vale in pochissimi casi...
Puoi sfruttare però che $p$ è primo: una potenza di un primo ha come divisori solo potenze (più piccole) di quel primo... ;)

P.S: per il sse puoi usare \iff, che dà $\iff$ :)
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Sir Yussen
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Re: Diofantea dalle dispense

Messaggio da Sir Yussen » 11 gen 2013, 14:59

GI. sarai d'accordo con me che, visto che $p$ è primo, allora bisogna avere:
$a= m+12 = p^k$
$b= m-12 = p^h$
con $k+h = n$. Ora, cosa mi sai dire della differenza $a-b$ ? Che divisibilità deve rispettare?

toti96
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Re: Diofantea dalle dispense

Messaggio da toti96 » 11 gen 2013, 16:57

allora provo a riassumere e risolvere il tutto correggetemi se sbaglio:
abbiamo la diofantea $ m^2-144=p^n $ con $ p $ primo. si riscriva come $ (m+12)(m-12)=p^n $, e deve quindi essere $ m+12=p^k $ e $ m-12=p^h $ con $ k+h=n $. mettiamo in sistema queste due espressioni e otteniamo $ 24=p^h(p^{k-h}-1) $. dato che $ 24=2^3*3 $ proviamo la varie combinazioni con questi due primi :poniamo $ p^k-1=3 $ e otteniamo la terna $ (20,2,8) $.poniamo $ p^h=3 $ e otteniamo la terna $ (15,3,4) $.ora supponiamo $ p=2 $ ma $ p^k-1 \neq 3 $. otteniamo $ 2^h(2^{k-h}-1) $. con $ h<3 $. con evidentemente con $ h=1 $ o $ h=2 $ o $ h=0 $ e $ p=2 $ non vi sono soluzioni. manca però l'ultimo caso da analizzare :$ p^h=1 $ quindi $ h=0 $ con $ p $ primo generico da cui otteniamo la terna $ (13,5,2) $

Gi.
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Re: Diofantea dalle dispense

Messaggio da Gi. » 11 gen 2013, 17:12

$ a= m+12=p^k $
$ b= m-12=p^h $

sottraendo membro a membro ottengo

$ a-b=p^k-p^h=24 $

Sicuramente $ a-b $ è divisibile per 24 e per ogni suo divisore ($ \pm 1, \pm 2, \pm 3 , \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24) $.
Adesso ho pensato che ponendo $ h\le k $ posso scrivere

$ p^k -p^h=p^h(p^{k-h}-1)=24 $

adesso $ p^h $ deve necessariamente essere $ p=2 $, con $ 0\le h\le 3 $, oppure $ p=3 $ con $ h=1 $; i casi con $ p=2 $ non portano ad alcun valore accettabile in quanto si arriva sempre a qualcosa del tipo "potenza di 2=numero dispari" (chiaramente impossibile, a meno che il dispari non sia 1). Il caso $ p=3 $ porta ad n=4, che a sua volta porta a m=15 ed alla terna finale (15,4,3). L' altra terna è quella che ho individuato prima e, a parte la sparata, credo che il procedimento con cui l' ho determinata sia corretto.

EDIT: Argh, Toti mi ha preceduto, però vedo con piacere che il metodo che ho utilizzato è corretto (almeno spero), sebbene abbia mancato una terna per distrazione :D

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