Segno di $\pi(x)$

[kalu]

È una generalizzazione (spero vera) dell'N2 di ammissione al WC.
Presi $p$ primo e $n$ dispari tale che $ (p-1, n)=1 $, si ha che $ \pi(x)=x^n $ è permutazione in $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $.
Mostrare che $ \pi(x) $ ha segno $ \displaystyle (-1)^{\frac{(n-1)(p+1)}{4}} $

[Karl Zsigmondy]

E' scritta un po' di fretta e tralasciando la dimostrazione di lemmi importanti. Ci sono conti sbagliati e passaggi da sistemare. Ci ritornerò su domani, o comunque il prima possibile.

Il segno s sarà dato da: (i, j sono presi modulo p)
$ \displaystyle s= \prod_{i > j}{\frac{i^n-j^n}{i-j}}= \prod_{i > j}{(i-\omega j)(i- \omega^2j) \cdots (i - \omega^{n-1}j)} $
Dove $ \omega $ è una radice primitiva n-esima dell'unità. Ora scrivo $ i-\omega^kj=\omega^ni-\omega^kj $ e raccolgo rispettivamente la potenza di $ \omega $ minore fra le 2 all'interno di ogni parentesi con il -1 (ma solo per le potenze di omega con esponente maggiore di n/2). Li porto fuori dalla produttoria con esponente $ \binom{p}{2} $ che è il numero delle coppie i,j con $ i > j $ e ottengo:
$ \displaystyle s=(-1)^{\frac{p(p-1)(n-1)}{4}} \cdot (\omega)^{\frac{(3n-1)(n-1)p(p-1)}{16}}\cdot \prod_{i > j}{(i-\omega j)(i- \omega^2j) \cdots (j - \omega^2i)(j-\omega i)} = (-1)^{\frac{p(p-1)(n-1)}{4}} \cdot (\omega)^{\frac{(3n-1)(n-1)p(p-1)}{4}} \cdot \prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{\prod_{i > j}{(i-\omega^kj)(j-\omega^ki)}} $. Ora ho che:
$ \displaystyle \prod_{i \geq j \ \ (i,j) \neq (0,0)}{(i-\omega^kj)(j-\omega^ki)} = \prod_{(i,j) \in \mathbb{F}^*_p \backslash (0,0)}{(i - \omega^k j)} = \prod_{i \in \mathbb{F}^*_{p^2}}{i}=-1 $
In quanto gli elementi delle tre produttorie coincidono identicamente. Ma:
$ \displaystyle \prod_{i > j}{(i-\omega^kj)(j-\omega^ki)}= \prod_{(i,j) \in \mathbb{F}^*_p \backslash (0,0)}{(i-\omega^kj)} \cdot [\prod_{i \in \mathbb{F}^*_p}{i(1-\omega^k)}]^{-1}= (-1) \cdot (1-\omega^k)^{1-p} \cdot \prod_{i \in \mathbb{F}^*_p}{i} = (1- \omega^k)^{1-p} $
Ora $ (1-\omega^k)^{1-p}=(1-\omega^k) \cdot ((1-\omega^k)^p)^{-1} = (1 - \omega^k) \cdot (1-\omega^{kp})^{-1} $
Quindi:
$ \displaystyle s= (-1)^{\frac{p(p-1)(n-1)}{4}} \cdot (\omega)^{\frac{(3n-1)(n-1)p(p-1)}{4}}\cdot \prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{(1 - \omega^k) \cdot (1-\omega^{kp})^{-1}}=??? $

Non riesco a finire i conti per ora (premesso che siano giusti), ma comunque lascio quello che ho scritto, anche se incompleto.