Come distruggere un simpatico problemino.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Troleito br00tal
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Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da Troleito br00tal » 07 gen 2013, 21:53

Siano $a;b;c$ interi postivi tali che $(a;c)=1$ e $(a;b)=1$. Mostrare che esiste un $0 < x \le c$ intero positivo tale che, con $y=ax+b$, allora $(y;c)=1$.

Esiste una soluzione davvero raccapricciante (ma anche millemila facili facili, quindi, superpro, non risolvetelo, anche perché potrebbe (ma non lo sarà) essere istruttivo).

Se poi qualcuno avesse tempo da perdere, MIGLIORIAMO IL BOUND DI $x$
!

Ido Bovski
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Re: Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da Ido Bovski » 07 gen 2013, 23:23

Ho frainteso io il testo oppure l'ipotesi $(a, b)=1$ non è necessaria?
Comunque un primo miglioramento del bound potrebbe essere $\displaystyle 0<x\le \text{rad}(c)\left(1-\frac{\varphi(c)}{c}\right)+1$.

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Troleito br00tal
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Re: Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da Troleito br00tal » 08 gen 2013, 14:27

L'ipotesi effettivamente non è necessaria, ma c'è una soluzione orribile che utilizza quella cosa e (dato che a me piace la bruttezza) ho optato per il tenerla.

Scusa la mia ignoranza, ma cosa è $rad(c)$?

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jordan
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Re: Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da jordan » 08 gen 2013, 14:42

Troleito br00tal ha scritto:Scusa la mia ignoranza, ma cosa è $rad(c)$?
$\text{rad}(c):=\prod_{p \in \mathbb{P}\text{ } :\text{ } p\mid c}{p}$ per ogni intero $c\ge 2$..
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Troleito br00tal
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Re: Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da Troleito br00tal » 08 gen 2013, 15:08

Allora si potrebbe anche arrivare a questo. Sia $P$ il più grande primo tale che $P|c$. Allora possiamo anche avere
\begin{equation}
1 \le x \le \frac{2 rad(c)}{P}+1
\end{equation}

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kalu
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Re: Come distruggere un simpatico problemino.

Messaggio da kalu » 08 gen 2013, 22:36

Potreste spiegarmi il perchè dei vostri bound, che non ci arrivo? :(
Comunque una soluzione comoda mi sembra $ \ x_0=\displaystyle\prod_{p\in P\ : \ p \ \mid \ c \ \wedge \ p \ \not\mid \ b}{p} $, che funziona perchè: $$p\mid c \ \wedge \ p\mid b\ \to \ p \not\mid ax_0 \ \to \ p\not\mid y$$ $$p\mid c \ \wedge \ p\not\mid b \ \to \ p\ \mid ax_0 \ \to \ p\not\mid y$$
Pota gnari!

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