i primi del 2013

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
ma_go
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i primi del 2013

Messaggio da ma_go » 26 dic 2012, 11:21

Rxgxr, il cugino di Qwfwq, scrive: "gli unici fattori primi di 2013 sono 3 e 11".
Rxgxr sa benissimo che cos'è un numero primo, ha vinto le olimpiadi della matematica nel suo pianeta, e non mente mai.
dove sta l'inghippo?

[liberamente modificato - nella formulazione - dal blog di maurizio codogno su ilpost.it]

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jordan
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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 26 dic 2012, 11:55

sarebbe piu' da matematica ricreativa :D
Testo nascosto:
Questo ET è mezzo monco
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Gi.
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Gi. » 26 dic 2012, 15:21

Sul pianeto di Rxgxr si conta in una base diversa da quella decimale.
E' evidente che i numeri $3$ e $11$ devono rimanere primi anche nel passaggio dalla base $b$ utilizzata in quel pianeta a quella decimale.
Il numero $3$ rimane primo per qualsiasi base $b\ge 2$, il numero $11$ lo possiamo scrivere come $11=b+1$, quindi per $b$ pari puo' essere primo, per $b$ dispari solo se $b=1$ é primo, ma $b=1$ é escluso.
La base deve essere dunque pari e $>3$, provando con i numeri più piccoli si vede che passando dalla base quattro a quella decimale $2013$ é $135$ e $3$ e $11$ sono, rispettivamente, $3$ e $5$, $135=3^3*5$.
Ultima modifica di Gi. il 26 dic 2012, 16:29, modificato 6 volte in totale.

ma_go
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Re: i primi del 2013

Messaggio da ma_go » 26 dic 2012, 15:48

e chi dice che questa sia l'unica soluzione?

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jordan
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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 26 dic 2012, 15:58

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
Il fatto che tutti gli ET hanno meno dita :P
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Re: i primi del 2013

Messaggio da ma_go » 26 dic 2012, 16:04

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
per inciso...
Testo nascosto:
non lo è.

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jordan
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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 26 dic 2012, 17:53

Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?
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Robertopphneimer
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Robertopphneimer » 26 dic 2012, 19:55

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
Le molteplici soluzioni dipendono solo dal cambiamento di base?
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
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Gi.
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Gi. » 26 dic 2012, 23:11

Proviamo cosi':

$2(p-1)(p-2)=3(3^z-1)$

per cui $p-1\mid 3(3^z-1)$

in altre parole

$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$

il che implica

$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$

Quindi possiamo scrivere

$2p^2 -6p +4=3(3^z-1)$

e guardando l' espressione in modulo p

$4\equiv -1 \pmod{p}$

Da cui segue logicamente $p=5$

quindi:

$24= 3^{z+1}-3$
$8= 3^z -1$
$3^z=9 \Rightarrow z=2$

?

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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 26 dic 2012, 23:35

Gi. ha scritto:[...]In altre parole
$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$
il che implica
$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$[...]
What the ...?!
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Gi. » 27 dic 2012, 08:23

Quello che intendevo dire è questo:

$ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $

ma in questo caso non ho considerato che

$ 3(3^z-1)\neq p-1 $

Giustamente il passaggio è errato e quindi tutta la risoluzione lo è (sebbene il risultato finale è corretto).
Hint?
Ultima modifica di Gi. il 27 dic 2012, 11:49, modificato 1 volta in totale.

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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 27 dic 2012, 11:15

Gi. ha scritto:Quello che intendevo dire è questo: $ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $
Questo non è la stessa cosa dell'implicazione che hai scritto: per curiosità, come fai a dire che il risultato finale è corretto?
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Gi. » 27 dic 2012, 11:41

Per $ p=5 $ e $ z=2 $ ottengo:

$ 2(5-1)(5-2)=3(3^2-1) $

$ 24=24 $

L' uguaglianza è rispettata.

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Re: i primi del 2013

Messaggio da jordan » 27 dic 2012, 11:42

Eh, grazie :? Intendevo, come fai a dire che non ce ne sono altre?
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Re: i primi del 2013

Messaggio da Drago96 » 27 dic 2012, 12:03

jordan ha scritto:Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?
Uhm, non direi...
Per esempio vale $2013_6=441_{10}=3^27^2_{10}=3^211^2_6$. Ma per $p=7$ la tua equazione non ha soluzioni... :?
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