@Ido Bovski: hai ragione, non avevo letto bene il testo.
Provo a buttare giù una dimostrazione (Sicuramente sbagliata
).
Sia \(p\) un numero primo. Dimostro preliminarmente che
\( \displaystyle (-1)^{k+1}\binom{p-1}{k}+1\equiv 0\) mod p per \( k=1 \cdots p-1\)
Se supponiamo \( k\) dispari allora:
\(\displaystyle (-1)^{k+1}\binom{p-1}{k}+1=\binom{p-1}{k}+1=\frac{(p-1)(p-2)\ldots(p-k)+k!}{k!}=\frac{pA}{k!} \) con \( A \in \mathbb{Z}\)
Siccome \( MCD(k!,p)=1\) , \( k!\) divide \( A\) e quindi \( \displaystyle \binom{p-1}{k}+1 \equiv 0\)
Analoga dimostrazione per \( k\) pari.
Adesso :
\( \displaystyle 1+x+\ldots+x^{p-1}=(1-x)^{p-1}\sum_{i=0}^{\infty}c_{i}x^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{p-1}(-1)^{j}c_{i}\binom{p-1}{j}x^{i+j}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=min(0,k-p+1)}^{k}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}x^{k}\)
Uguagliando i coefficienti di ugual grado della prima somma e della serie ricavatto otteniamo:
Per \( k=0\): \( c_0=1\)
Per \( k=1\): \( c_1=p\)
Supponiamo che \( c_i \equiv 0\) mod p per \( i=1 \cdots k-1\)
Per \( k <p\) abbiamo:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}=1 \)
\( \displaystyle c_{k}+(-1)^{k}\binom{p-1}{k}+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}=1\)
\( \displaystyle c_{k}=(-1)^{k+1}\binom{p-1}{k}+1-\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}\equiv0\) mod p.
Per \( k \geq p\) abbiamo:
\( \displaystyle \sum_{i=k-p+1}^{k}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}=0\) mod p.
\( \displaystyle c_{k}=-\sum_{i=k-p+1}^{k-1}(-1)^{k-i}c_{i}\binom{p-1}{k-i}\equiv0\)