$x^{[x]}=9/2$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$x^{[x]}=9/2$

Messaggio da jordan » 24 dic 2012, 02:23

Trovare tutti i reali positivi $x$ tali che \[ x^{\lfloor x \rfloor}=\frac{9}{2} \]
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Mist
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Re: $x^{[x]}=9/2$

Messaggio da Mist » 25 dic 2012, 01:11

$f(x)= x^{\lfloor x \rfloor}$ è crescente in $\mathbb{R}^+$ e quindi la soluzione se esiste è unica. Sia $0\leq \epsilon < 1$. Per $x= \epsilon$, $\displaystyle f(x) =1 < \frac{9}{2}$. Per $\displaystyle x= 1+\epsilon$, $\displaystyle f(x) = 1+\epsilon < \frac{9}{2}$. Per $x= 2+\epsilon$, $\displaystyle f(x) = x^2 = \frac{9}{2} \rightarrow x= \frac{3}{2}\sqrt{2}$ che è l'unica soluzione.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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jordan
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Re: $x^{[x]}=9/2$

Messaggio da jordan » 25 dic 2012, 18:45

Correct; non so perchè l'ho postato in teoria dei numeri, qualcuno lo sposti pure in algebra :/
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