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Mostrare che ogni intero positivo puo' essere espresso come somma di interi positivi della forma $2^a\cdot 3^b$ (con $a,b\ge 0), dove ciascun addendo non divide nessun altro.

Per numeri $x$ compresi tra $1$ e $12$ si vede facilmente che è possibile. Si ha che se sappiamo esprimere $x$ nel modo voluto allora sappiamo esprimere anche $2^u 3^v x$ con $u,v \geq 0$ per il semplice fatto che per ogni $j$ se $2^{a_j}2^{b_j} \nmid 2^{a_i}3^{b_i}$ per ogni $i$ allora $2^{a_j+u}2^{b_j+v} \nmid 2^{a_i+u}3^{b_i+v}$ per ogni $i$ e le ipotesi rimangono rispettate. Non resta da dimostrare che tutti i numeri $x \equiv \pm 1 \pmod{6}$ siano esprimibili come richiesto e si ha quindi la tesi. Siccome $3^k \equiv 3 \pmod{6}$ per ogni $k$, se sottraggo ad un $x\equiv \pm 1 \pmod{6}$ la massima potenza di tre minore di $x$ ottengo un numero pari minore di x. In altre parole scrivo $x=3^{\alpha _1} +h_1$ con $h_1$ pari e $\alpha _1$ massimo possibile. Ora, se scrivo $h_1 = 2^{\upsilon _2(h_1 )}h_2$, $h_2$ è ancora congruo a più o a meno uno modulo 6. Si cerca ancora la massima potenza di tre $3^{\alpha _2}$ minore di questo numero, la si sottrae ad $h_2$ e si ricomincia finchè non si arriva ad uno dei numeri compresi tra $1$ e $12$ congrui a $\pm 1$ modulo $6$. A questo punto siccome gli $\alpha _i$ sono decrescenti si avrà che nell'espressione finale di $x$ si avrà che al decrescere dell'esponente del $3$ nei vari addendi il crescere dell'esponente del $2$: da ciò la tesi.

Mi sono spiegato da cani ma non so fare di meglio spero almeno di non aver cannato tutto

In pratica, hai usato l'induzione, e la soluzione è corretta anche qui

Questa è la mia, se puo' servire:

Let's prove it by induction: the claim is trivially true for $n=1$. Now, suppose that out thesy is true for all integers $i=1,2,\ldots,n_0-1$ for some integer $n_0 \ge 2$:

*) if $n_0$ is even, then $\frac{1}{2}n_0$ has a suitable representation, that is suitable too when all addends are multipled by $2$;

*) if $n$ is odd, define $k$ as the greatest positive integer such that $3^k \le n< 3^{k+1}$. Then $n_0=3^k+2\left( \frac{1}{2}(n_0-3^k)\right)$ has a suitable representation too since $n_0-3^k$ is even, strictly smaller than $n_0$, and no added is a multiple of any other.

Sono pazzo io che visito il forum a natale.. Ma Mist, non ti conosco, purtroppo.. Ma se il mio nuovo mito.. Risolvi la notte di Natale problemi

scambret ha scritto: Ma se il mio nuovo mito.. Risolvi la notte di Natale problemi

Cosa c'è di strano? :O

Ehm è un pochino strano, non ne convieni?? Sempre se uno crede.. Dovrebbe essere il giorno più importante per un cristiano (sorry per l OT).. E risolvere problemi tuoi, rinomatamente difficili, la notte di Natale.. Boh

scambret ha scritto:Sempre se uno crede..

Hai centrato il problema
/ot off.

Uh, io sono e cerco di essere, tanto nelle azioni quanto nei pensieri, profondamente cristiano ed in quanto tale, sapendo che il 25 Dicembre è solo un giorno convenzionalmente fissato qualche tempo fa, cerco di rivivere il mistero centrale del Natale, che è l'umanazione di Dio, ogni singolo giorno della mia vita

\ot off definitivo, mi andava solo di scrivere pubblicamente la mia risposta cosìcchè rimanga ai posteri (?) Spero che nessuno dei mod mi picchierà :3

Mist ha scritto:Uh, io sono e cerco di essere, tanto nelle azioni quanto nei pensieri, profondamente cristiano ed in quanto tale, sapendo che il 25 Dicembre è solo un giorno convenzionalmente fissato qualche tempo fa, cerco di rivivere il mistero centrale del Natale, che è l'umanazione di Dio, ogni singolo giorno della mia vita

\ot off definitivo, mi andava solo di scrivere pubblicamente la mia risposta cosìcchè rimanga ai posteri (?) Spero che nessuno dei mod mi picchierà :3

Trasformare un problema in una discussione filo-etico-religiosa è... Magnifique xD (sorry x l OT)