$n$ come somma di $2^a3^b$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da jordan » 23 dic 2012, 00:07

Mostrare che ogni intero positivo puo' essere espresso come somma di interi positivi della forma $2^a\cdot 3^b$ (con $a,b\ge 0), dove ciascun addendo non divide nessun altro.
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da Mist » 25 dic 2012, 01:05

Per numeri $x$ compresi tra $1$ e $12$ si vede facilmente che è possibile. Si ha che se sappiamo esprimere $x$ nel modo voluto allora sappiamo esprimere anche $2^u 3^v x$ con $u,v \geq 0$ per il semplice fatto che per ogni $j$ se $2^{a_j}2^{b_j} \nmid 2^{a_i}3^{b_i}$ per ogni $i$ allora $2^{a_j+u}2^{b_j+v} \nmid 2^{a_i+u}3^{b_i+v}$ per ogni $i$ e le ipotesi rimangono rispettate. Non resta da dimostrare che tutti i numeri $x \equiv \pm 1 \pmod{6}$ siano esprimibili come richiesto e si ha quindi la tesi. Siccome $3^k \equiv 3 \pmod{6}$ per ogni $k$, se sottraggo ad un $x\equiv \pm 1 \pmod{6}$ la massima potenza di tre minore di $x$ ottengo un numero pari minore di x. In altre parole scrivo $x=3^{\alpha _1} +h_1$ con $h_1$ pari e $\alpha _1$ massimo possibile. Ora, se scrivo $h_1 = 2^{\upsilon _2(h_1 )}h_2$, $h_2$ è ancora congruo a più o a meno uno modulo 6. Si cerca ancora la massima potenza di tre $3^{\alpha _2}$ minore di questo numero, la si sottrae ad $h_2$ e si ricomincia finchè non si arriva ad uno dei numeri compresi tra $1$ e $12$ congrui a $\pm 1$ modulo $6$. A questo punto siccome gli $\alpha _i$ sono decrescenti si avrà che nell'espressione finale di $x$ si avrà che al decrescere dell'esponente del $3$ nei vari addendi il crescere dell'esponente del $2$: da ciò la tesi.

Mi sono spiegato da cani ma non so fare di meglio :? spero almeno di non aver cannato tutto
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da jordan » 25 dic 2012, 18:47

In pratica, hai usato l'induzione, e la soluzione è corretta anche qui :wink:
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da jordan » 25 dic 2012, 18:52

Questa è la mia, se puo' servire:

Let's prove it by induction: the claim is trivially true for $n=1$. Now, suppose that out thesy is true for all integers $i=1,2,\ldots,n_0-1$ for some integer $n_0 \ge 2$:

*) if $n_0$ is even, then $\frac{1}{2}n_0$ has a suitable representation, that is suitable too when all addends are multipled by $2$;

*) if $n$ is odd, define $k$ as the greatest positive integer such that $3^k \le n< 3^{k+1}$. Then $n_0=3^k+2\left( \frac{1}{2}(n_0-3^k)\right)$ has a suitable representation too since $n_0-3^k$ is even, strictly smaller than $n_0$, and no added is a multiple of any other.
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da scambret » 25 dic 2012, 18:56

Sono pazzo io che visito il forum a natale.. Ma Mist, non ti conosco, purtroppo.. Ma se il mio nuovo mito.. Risolvi la notte di Natale problemi :D

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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da jordan » 25 dic 2012, 18:56

scambret ha scritto: Ma se il mio nuovo mito.. Risolvi la notte di Natale problemi :D
Cosa c'è di strano? :O
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da scambret » 25 dic 2012, 19:05

Ehm :mrgreen: è un pochino strano, non ne convieni?? Sempre se uno crede.. Dovrebbe essere il giorno più importante per un cristiano (sorry per l OT).. E risolvere problemi tuoi, rinomatamente difficili, la notte di Natale.. Boh :mrgreen:

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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da jordan » 25 dic 2012, 19:48

scambret ha scritto:Sempre se uno crede..
Hai centrato il problema :)
/ot off.
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da Mist » 25 dic 2012, 20:22

Uh, io sono e cerco di essere, tanto nelle azioni quanto nei pensieri, profondamente cristiano ed in quanto tale, sapendo che il 25 Dicembre è solo un giorno convenzionalmente fissato qualche tempo fa, cerco di rivivere il mistero centrale del Natale, che è l'umanazione di Dio, ogni singolo giorno della mia vita :)

\ot off definitivo, mi andava solo di scrivere pubblicamente la mia risposta cosìcchè rimanga ai posteri (?) Spero che nessuno dei mod mi picchierà :3
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Re: $n$ come somma di $2^a3^b$

Messaggio da scambret » 25 dic 2012, 20:39

Mist ha scritto:Uh, io sono e cerco di essere, tanto nelle azioni quanto nei pensieri, profondamente cristiano ed in quanto tale, sapendo che il 25 Dicembre è solo un giorno convenzionalmente fissato qualche tempo fa, cerco di rivivere il mistero centrale del Natale, che è l'umanazione di Dio, ogni singolo giorno della mia vita :)

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Trasformare un problema in una discussione filo-etico-religiosa è... Magnifique xD (sorry x l OT)

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