$x^{2007}=y^x$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Gi.
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$x^{2007}=y^x$

Messaggio da Gi. » 18 dic 2012, 19:52

Come da titolo: trovare tutti gli interi che soddisfano l' equazione

$x^{2007}=y^x$

con x primo e y>0

Non riesco a risolvere questo problema, sebbene credo di aver capito l' approccio
Testo nascosto:
Guardando l' espressione in modulo x trovo:

$y^x$ ≡ 0 (mod x)

ma essendo x primo, per il piccolo teorema di Fermat, $ y^x $ ≡ y (mod x), per cui:

y ≡ 0 (mod x)

Quindi y è un multiplo di x e posso scrivere

$x^{2007}=(kx)^x$

Adesso scrivo $ (kx)^x $ come $ k^x*x^x $ e divido tutto per $ x^x $, per cui:

$x^{2007-x}=k^x$

Ma da qui non riesco a concludere
Potreste darmi un hint?

ant.py
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Re: $x^{2007}=y^x$

Messaggio da ant.py » 18 dic 2012, 19:57

ci sei quasi, diciamo..

hint
Testo nascosto:
basta osservare che y deve essere una potenza di x (altrimenti banalmente non si avrebbe l'uguaglianza);
poi si risolve
Testo nascosto:
poni quindi y = x^k e ti esce xk = 2007

ora si tratta solo di trovare le coppie tale che x sia primo, e hai fatto :-)
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Drago96
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Re: $x^{2007}=y^x$

Messaggio da Drago96 » 18 dic 2012, 20:00

$k$ non può essere molte cose... ;)
E poi mi pare un po' troppo scomodare Fermat per dire che $p\mid a^b\implies p\mid a$ xD
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Re: $x^{2007}=y^x$

Messaggio da nic.h.97 » 18 dic 2012, 20:08

prova a pensare a sinistra dell'equazione ( dove c'è $ x^{2007} $ ) : $ x*x*x*x,.......x_{2007} $...... allora a destra cosa dobbiamo avere?
e ricordati che x è primo!

Gi.
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Re: $x^{2007}=y^x$

Messaggio da Gi. » 18 dic 2012, 20:26

Vediamo:
Testo nascosto:
Sepenso $ x^{2007} $come il prodotto di 2007 x ottengo,come detto da Ant, a destra dell' uguale un numero che è chiaramente una potenza di x, quindi $ y=x^n $ , da cui $ x^{2007}=(x^n)^x $ , per cui $ x^{2007}=x^{nx} $ ,ora, chiaramente, se sono uguali le basi devono esserlo anche gli esponenti: nx=2007; $ 2007= 3^2*223 $, per cui nx può essere o $ 3*669 $ oppure $ 223*3^2 $ , nel primo caso x=3 e n=223, da cui $ y=223^9 $ , e nel secondo x=3 e n=669, da cui $ y=3^{669} $
In effetti è più banale di quello che sembrava all' apparenza. Grazie per i vari suggerimenti :D

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