Radici particolari

[mat94]

Siano m e n interi positivi tali che $ x^2-mx+n = 0 $ abbia 2 radici reali $\alpha$ e $\beta$ . Dimostrare che $\alpha$ e $\beta$ sono interi se e solo se $ [m\alpha]+[m\beta] $ è un quadrato perfetto.

[Karl Zsigmondy]

Si ha che: $ \alpha=\frac{m+k}{2} \ ; \ \beta=\frac{m+k}{2} \ ; \ \alpha+\beta=m $ dove $ k = \sqrt{m^2-4n} $. Ma $ m^2 - 2 =m(\alpha + \beta) - 2 \leq \lfloor m\alpha \rfloor + \lfloor m\beta \rfloor \leq m(\alpha + \beta) = m^2 $. Dato che $ m^2 - 1 $ e $ m^2-2 $ non possono essere quadrati perfetti (a meno che m=1, ma in questo caso, affinché alfa e beta siano reali, deve valere n=0 che è impossibile dal momento che n è un intero positivo), quindi si può avere solo $ \lfloor m\alpha \rfloor + \lfloor m\beta \rfloor = m^2 $ e quindi $ \lfloor m\alpha \rfloor = m\alpha \ ; \ \lfloor m\beta \rfloor = m\beta $, che vale se e solo se $ m\alpha , \ m\beta $ sono interi, che accade se e solo se $ \alpha $ e $ \beta $ sono interi.