imo 2 1959

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nic.h.97
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imo 2 1959

Messaggio da nic.h.97 » 02 dic 2012, 14:04

determinare i valori di x con
$ a=\sqrt{2} $
$ a=1 $
$ a=2 $

$ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A $
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
con $ a=\sqrt{2} $
$ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2} $
faccio in modo che diventi un radicale quadratico doppio ( divido per $ \sqrt{2} $)
$ \frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}=1 $
da cui (di questo passaggio sono incerto)****************************
$ \sqrt{a+\sqrt{a^2-1}} + \sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}=A $
$ 2x= a^2 $ e quindi$ x=2 $
poi-----
$ \sqrt{x+\sqrt{1}} =\frac{A}{\sqrt{2}} $

ora ci mancano i casi di $ A=1 e A=2 $
allora $ A=1 $
$ \sqrt{x+1} =\frac{1}{\sqrt{2}} $

e quindi $ x+1=\frac{1}{2} $
e quindi $ x=\frac{-1}{2} $

poi $ A=2 $
$ \sqrt{x+\sqrt{1}} =\sqrt{2} $
e quindi $ x=1 $

sono incerto nel passaggio **********************
perchè se fosse sbagliato è sbagliato anche il resto...
Ultima modifica di nic.h.97 il 02 dic 2012, 14:22, modificato 2 volte in totale.

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Troleito br00tal
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Re: imo 2 1959

Messaggio da Troleito br00tal » 02 dic 2012, 14:10

Credo di non aver capito dove finisce il testo e dove inizia la soluzione.

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Drago96
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Re: imo 2 1959

Messaggio da Drago96 » 02 dic 2012, 14:59

In TdN? :?
Comunque, intanto imponi una condizine di esistenza, e poi prova ad elevare al quadrato... ;)
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toti96
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Re: imo 2 1959

Messaggio da toti96 » 02 dic 2012, 21:26

cominciamo a porre le limitazioni sapendo che nei reali non ha senso la radice quadrata di un negativo quindi $ 2x-1\ge 0 $ il che ci porta a $ x\ge 1/2 $. per le limitazioni qua poste risulta allora banale $ x\ge \sqrt {2x-1} $. ora per risolvere scrivo il testo come:
$ x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}+2\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})}=A^2 $. ora facciamo un'osservazione sui termini in parentesi sotto radice:se essi sono uguali a $ 0 $ cioè $ x=1/2 $ ottengo $ 1+1=A^2 $ quindi con $ x=1/2 $ ottengo $ a=\sqrt{2} $. proseguiamo eliminando il caso adesso visto e riscriviamo come $ 2x+2\sqrt{x^2-2x+1}=A^2 $ cioè come $ 2x+2\sqrt{(x-1)^2}=A^2 $. ora si deve prestare attenzione al quadrato sotto parentesi il cui risultato posso scrivere come $ x-1 $ se e solo se $ x-1>= 0 $. in questo caso proviamo le $ 3 $ equazioni:
$ 2x+2x-2=2 $ cioè $ x=1 $ soluzione possibile
$ 2x+2x-2=1 $ cioè $ x=3/4 $ soluzione impossibile per le condizioni poste
$ 2x+2x-2=4 $ cioè $ x=3/2 $ soluzione possibile.
se supponiamo adesso $ x-1<0 $ le ultimo due equazioni diventano banalmente false mentre la prima la riscriviamo come
$ 2x+2-2x=2 $ sempre vera . da ciò si conclude che le soluzioni dell'equazione sopra (con i vincoli imposti dalle radici e già specificati) sono:
$ a=\sqrt{2} $ $ 1/2<=x<=1 $
$ a=1 $ $ x $ non esiste
$ a=2 $ $ x=3/2 $
è giusta??spero di sì ...

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