cese3 2001

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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nic.h.97
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cese3 2001

Messaggio da nic.h.97 » 02 dic 2012, 12:31

$ x^{2001}=y^x $

a) Determinare tutte le coppie
x y di soluzioni in cui x e un numero primo e y e un intero
positivo

b) Determinare tutte le coppie
x y di soluzioni in cui x e y sono interi positivi
-----------------------

a) $ x $ primo elevato alla 2001 , dev'essere uguale ad $ y^x $ .

Quindi $ y^x $ dev' essere $ x $ ripetuto 2001 volte e da cio' si ricava che
$ y=x^v $
dove $ v=2001/x $

$ 2001=3*23*29 $

quindi se noi vogliamo avere $ v $ intero , $ x $ puo' assumere il valore $ 3 , 23 , 29 $

con $ x=3 $ abbiamo$ v=23*29 $ da cui $ y=3^{23*29} $
con $ x=23 $ , $ v=3*29 $ e quindi $ y=23^{3*29} $
con $ x=29 $ , $ v=23*3 $ e allora $ y=29^{23*3} $7
b)
come ho detto prima , se vogliamo avere $ v $ intero , $ x $ puo' assumere alcuni dei divisori di $ 2001 $.

con $ x $ non primo abbiamo le seguernti combinazioni=
$ 23*29 $
$ 3*29 $
$ 3*23 $
$ 3*29*23 $

poi ,
$ v=2001/x $
e quindi $ y=x^v $


tutto ok?




Claudio.
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Re: cese3 2001

Messaggio da Claudio. » 02 dic 2012, 16:23

Mi sembra che nel secondo punto il fatto che $y$ debba necessariamente essere una potenza di $x$ vada dimostrato...

Sir Yussen
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Re: cese3 2001

Messaggio da Sir Yussen » 06 dic 2012, 19:57

Questo si aggiusta semplicemente:
Abbiamo due possibili casi:
o $ x = y^ \alpha $
o $ y = x^ \alpha $
poichè i fattori devono essere "determinati" e in "determinate proporzioni" in $x$ e in $y$ . (mi esprimo da cane, lo so)

Abbiamo che $x=y^ \alpha \Rightarrow y^{2001 \alpha} = y^ {y^ \alpha} \Rightarrow 2001\alpha = y^\alpha $
E poichè 2001 non è una potenza, avremo $ y= 2001k \Rightarrow y \geq 2001$. Ma $2001\alpha = y^\alpha $ chiaramente non ha soluzione, perchè $\alpha$ da una parta moltiplica $2001$ e dall'altra moltiplica più volte per se stesso un valore $\geq 2001$ . Quindi assurdo, e quindi non ci resta che esaminare il secondo caso che è quello risolto da nic.h ..!

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simone256
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Re: cese3 2001

Messaggio da simone256 » 03 apr 2013, 22:31

Sir Yussen ha scritto:Questo si aggiusta semplicemente:
Abbiamo due possibili casi:
o <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-11-Frame" role="textbox" aria-readonly="true" style=""><nobr><span class="math" id="MathJax-Span-78"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 36px; height: 0px; font-size: 116%;"><span style="position: absolute; clip: rect(16.2px 11600px 32.4px -8.6px); top: -27px; left: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-79"><span class="mi" id="MathJax-Span-80" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">x</span><span class="mo" id="MathJax-Span-81" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 3.2px;">=</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-82" style="padding-left: 3.2px;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 13.5px; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(18.9px 11600px 32.4px -8.8px); top: -27px; left: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-83" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">y<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.1px;"></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 27px;"></span></span><span style="position: absolute; top: -30.2px; left: 7.6px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-84" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">α</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 26px;"></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 27px;"></span></span></span><span style="border-left-width: 0px; border-left-style: solid; display: inline-block; overflow: hidden; width: 0px; height: 12.2px; vertical-align: -3.4px;"></span></span></nobr></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-11"> x = y^ \alpha </script>
o <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-12-Frame" role="textbox" aria-readonly="true" style=""><nobr><span class="math" id="MathJax-Span-85"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 34px; height: 0px; font-size: 116%;"><span style="position: absolute; clip: rect(16.2px 11600px 32.4px -8.8px); top: -27px; left: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-86"><span class="mi" id="MathJax-Span-87" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">y<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.1px;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-88" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 3.2px;">=</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-89" style="padding-left: 3.2px;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 12.9px; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(18.9px 11600px 30.1px -8.6px); top: -27px; left: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-90" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">x</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 27px;"></span></span><span style="position: absolute; top: -30.2px; left: 7px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-91" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">α</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 26px;"></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 27px;"></span></span></span><span style="border-left-width: 0px; border-left-style: solid; display: inline-block; overflow: hidden; width: 0px; height: 12.2px; vertical-align: -3.4px;"></span></span></nobr></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-12"> y = x^ \alpha </script>
Perchè? Se dicessi $ x^6=y^x $, la coppia $ (4;8) $ rispetta l'equazione eppure y non è potenza di x... Non mi è chiaro il concetto che i fattori devono essere in "determinate proporzioni"... :?

P.s. Qualcuno può spiegarmi perchè mi esce quello strano papiro se faccio "cita"? :shock:
Non mi succedeva prima... Ora invece... :cry:
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nic.h.97
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Re: cese3 2001

Messaggio da nic.h.97 » 03 apr 2013, 22:56

perchè x = 4 non è primo

nic.h.97
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Re: cese3 2001

Messaggio da nic.h.97 » 03 apr 2013, 22:58

puoi dire che comunque y è una potenza di 2...

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simone256
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Re: cese3 2001

Messaggio da simone256 » 04 apr 2013, 16:41

In questo caso tu mi rispondi al primo quesito però, se io ti dicessi che $ (87;87^{23}) $ è soluzione dell'equazione nonostante $ x $ non sia primo? Secondo me il problema è più profondo... Quello che tu hai chiamato $ v $ nel punto uno deve essere intero perchè $ x $ è primo. Ma nel secondo punto nessuno mi dice che lo debba essere. Anche se poi... Lo sarà! Ma perchè? :lol: (rido per non piangere visto che non conosco l'effettiva soluzione :x )
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