OliForum Matematico

$ y^2=x^3+16 $
è equivalente a
$ (y-4)(y+4)=x^3 $

ora chiamo
$ \begin{cases} y-4=a \\ y+4=a+8 \end{cases} $

ora ho 4 casi
1)$ \begin{cases}a=1 \\ 1+8=x^3 \end{cases} $
non ha soluzione
2)$ \begin{cases}a+8=1 \\ -7=x^3\end{cases} $
non ha soluzione
3)$ \begin{cases}a=x \\ a+8=x^2\end{cases} = \begin{cases}// \\ 8=x(x-1) \end{cases} $
non ha soluzione
4)\begin{cases}a=x^2 \\ a+8=x \end{cases} = \begin{cases}// \\x(x-1)=-8\end{cases}
non ha soluzione.

pero' rimane $ a=0 $ e $ x=0 $
da cui $ y=4 $
quindi l'unica soluzione è$ (0,4) $

corretto?

No, direi che non torna... un cubo non è solo quadrato*base: 216 (il cubo di 6) è anche 12*18...

Prova a dire qualcosa sul MCD di quei due fattori..

quello che ho scritto vale solo per $ x^3 $ , con $ x $ primo
aspetta che ci penso....

io l'ho messa così la questione : cominciamo con l'affrontare il caso $ y-4=2n+1 $ cioè dispari e quindi $ y+4=2n+9 $.evidentemente i due termini non hanno fattori in comune e quindi dovrebbero essere entrambi cubi. metto in sistema i due fattori e ottengo
$ 2n+1=a^3 $
$ 2n+1+8=b^3 $. verifico così l'impossibilità in quanto otterrei $ 8=(b-a)(a^2+b^2+ab) $ in cui $ b-a $ è pari mentre l'altro termine in parentesi è dispari. allora supponiamo $ y-4=2a $ e quindi $ y+4=2a+8 $. riscrivo come $ 4(a+4)(a)=x^3 $.noto quindi che $ a $ deve essere per forza pari essendo 4 elevato ad una potenza pari e non multipla di $ 3 $. riscrivo come $ 16(m+2)(m)=x^3 $. vale qui lo stesso ragionamento che ci porta a $ 64(b+1)(b)=x^3 $ che è vera solo se entrambi i termini in parentesi sono cubi il che è impossibile tranne nel caso in cui $ b=0 $ da cui deduco le coppie risolutive $ (0,4) $ e $ (0,-4) $. va bene così??

toti96 ha scritto:riscrivo come $ 4(a+4)(a)=x^3 $.noto quindi che $ a $ deve essere per forza pari essendo 4 elevato ad una potenza pari e non multipla di $ 3 $. riscrivo come $ 16(m+2)(m)=x^3 $. vale qui lo stesso ragionamento che ci porta a $ 64(b+1)(b)=x^3 $

Sì, l'idea è quella...
Si poteva scrivere meglio come $4(a+4)(a)=x^3\rightarrow x=2w\rightarrow 4(a+4)(a)=8w^3\rightarrow (a+4)a=2w^3\rightarrow a=2b\rightarrow2(b+2)b=w^3\rightarrow w=2z\rightarrow$
$2b(b+2)=8z^3\rightarrow b(b+2)=4z^3\rightarrow b=2c\rightarrow c(c+1)=z^3\rightarrow c=0,z=0\rightarrow x=0$