$ y^2=x^3+16 $
è equivalente a
$ (y-4)(y+4)=x^3 $
ora chiamo
$ \begin{cases} y-4=a \\ y+4=a+8 \end{cases} $
ora ho 4 casi
1)$ \begin{cases}a=1 \\ 1+8=x^3 \end{cases} $
non ha soluzione
2)$ \begin{cases}a+8=1 \\ -7=x^3\end{cases} $
non ha soluzione
3)$ \begin{cases}a=x \\ a+8=x^2\end{cases} = \begin{cases}// \\ 8=x(x-1) \end{cases} $
non ha soluzione
4)\begin{cases}a=x^2 \\ a+8=x \end{cases} = \begin{cases}// \\x(x-1)=-8\end{cases}
non ha soluzione.
pero' rimane $ a=0 $ e $ x=0 $
da cui $ y=4 $
quindi l'unica soluzione è$ (0,4) $
corretto?
cese.2 1994
Re: cese.2 1994
No, direi che non torna... un cubo non è solo quadrato*base: 216 (il cubo di 6) è anche 12*18... 
Prova a dire qualcosa sul MCD di quei due fattori..
Prova a dire qualcosa sul MCD di quei due fattori..
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: cese.2 1994
quello che ho scritto vale solo per $ x^3 $ , con $ x $ primo
aspetta che ci penso....
aspetta che ci penso....
Re: cese.2 1994
io l'ho messa così la questione : cominciamo con l'affrontare il caso $ y-4=2n+1 $ cioè dispari e quindi $ y+4=2n+9 $.evidentemente i due termini non hanno fattori in comune e quindi dovrebbero essere entrambi cubi. metto in sistema i due fattori e ottengo
$ 2n+1=a^3 $
$ 2n+1+8=b^3 $. verifico così l'impossibilità in quanto otterrei $ 8=(b-a)(a^2+b^2+ab) $ in cui $ b-a $ è pari mentre l'altro termine in parentesi è dispari. allora supponiamo $ y-4=2a $ e quindi $ y+4=2a+8 $. riscrivo come $ 4(a+4)(a)=x^3 $.noto quindi che $ a $ deve essere per forza pari essendo 4 elevato ad una potenza pari e non multipla di $ 3 $. riscrivo come $ 16(m+2)(m)=x^3 $. vale qui lo stesso ragionamento che ci porta a $ 64(b+1)(b)=x^3 $ che è vera solo se entrambi i termini in parentesi sono cubi il che è impossibile tranne nel caso in cui $ b=0 $ da cui deduco le coppie risolutive $ (0,4) $ e $ (0,-4) $. va bene così??
$ 2n+1=a^3 $
$ 2n+1+8=b^3 $. verifico così l'impossibilità in quanto otterrei $ 8=(b-a)(a^2+b^2+ab) $ in cui $ b-a $ è pari mentre l'altro termine in parentesi è dispari. allora supponiamo $ y-4=2a $ e quindi $ y+4=2a+8 $. riscrivo come $ 4(a+4)(a)=x^3 $.noto quindi che $ a $ deve essere per forza pari essendo 4 elevato ad una potenza pari e non multipla di $ 3 $. riscrivo come $ 16(m+2)(m)=x^3 $. vale qui lo stesso ragionamento che ci porta a $ 64(b+1)(b)=x^3 $ che è vera solo se entrambi i termini in parentesi sono cubi il che è impossibile tranne nel caso in cui $ b=0 $ da cui deduco le coppie risolutive $ (0,4) $ e $ (0,-4) $. va bene così??
Re: cese.2 1994
Sì, l'idea è quella...toti96 ha scritto:riscrivo come $ 4(a+4)(a)=x^3 $.noto quindi che $ a $ deve essere per forza pari essendo 4 elevato ad una potenza pari e non multipla di $ 3 $. riscrivo come $ 16(m+2)(m)=x^3 $. vale qui lo stesso ragionamento che ci porta a $ 64(b+1)(b)=x^3 $
Si poteva scrivere meglio come $4(a+4)(a)=x^3\rightarrow x=2w\rightarrow 4(a+4)(a)=8w^3\rightarrow (a+4)a=2w^3\rightarrow a=2b\rightarrow2(b+2)b=w^3\rightarrow w=2z\rightarrow$
$2b(b+2)=8z^3\rightarrow b(b+2)=4z^3\rightarrow b=2c\rightarrow c(c+1)=z^3\rightarrow c=0,z=0\rightarrow x=0$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)