Problema dalle provinciali 2011

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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flutist001
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Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da flutist001 » 12 nov 2012, 20:12

Ciao a tutti , sto cercando di risolvere questo problema :
$ x $ e $ y $ sono due interi positivi tali che $ x^2 - y^2 $ è positivo , multiplo di $ 2011 $ e ha esattamente $ 2011 $ divisori positivi , quante sono le coppie ordinate $ x , y $ che verificano tali condizioni?
Bene , ora io ho provato scomponendo il binomio , ma ora non so come muovermi , mi dareste un hint? :)
Grazie!

trugruo
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Re: Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da trugruo » 12 nov 2012, 20:15

dai 2011 è primo :P

flutist001
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Re: Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da flutist001 » 12 nov 2012, 20:18

Questo lo sapevo , c'era scritto nella traccia , ma ho dimenticato di scriverlo (sbadato!).Comunque significherebbe che o $ x-y $ o $ x+y $ ha $ 2011 $ tra i fattori primi...e poi non so come continuare :/

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razorbeard
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Re: Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da razorbeard » 12 nov 2012, 21:02

Dunque, sfruttando il suggerimento di trugruo, puoi dedurre che $x^2-y^2=p^{2010}$.
Da qui puoi procedere scomponendo...
E' un buon giorno... per morire

flutist001
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Re: Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da flutist001 » 12 nov 2012, 21:35

razorbeard ha scritto:Dunque, sfruttando il suggerimento di trugruo, puoi dedurre che $x^2-y^2=p^{2010}$.
Da qui puoi procedere scomponendo...
mmmh...sinceramente non ho ben capito come tu ci sia arrivato :/ , ad ogni modo quasi sicuramente starò dicendo un'idiozia , ma essendo $ p $ primo allora non deve essere obbligatoriamente uguale a $ 2011 $ ?

Eleven
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Re: Problema dalle provinciali 2011

Messaggio da Eleven » 12 nov 2012, 22:47

mmmh...sinceramente non ho ben capito come tu ci sia arrivato :/
Se $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_k}_k$ dove i $p_i$ sono primi distinti e $\alpha_i \geq 0$ per ogni $i=1,2,\ldots,k$, il numero di divisori di $n$ è $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$. Questo si dimostra osservando che ogni divisore di $n$ ha esponente di $p_i$ compreso tra $0$ e $\alpha_i$, quindi hai $(\alpha_i+1)$ scelte per ogni esponente di $p_i$. Nel tuo caso hai $2011$ divisori e poichè $2011$ è primo, devi avere necessariamente una potenza di $p$.

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