Pell (circa)

[Troleito br00tal]

Mostrare che
\begin{equation}
3x^2-y^2=2
\end{equation}
ha infinite soluzioni intere

[kalu]

STEP 1
L'equazione $ 3x^2-y^2=-1 $ ha infinite soluzioni intere.
Una soluzione è $ (1, 2) $. Suppongo che le soluzioni siano in numero finito; sia allora $(X, Y)$ quella tale che il prodotto $ XY $ sia massimo.
Noto che $3(2XY)^2-(3X^2+Y^2)^2=-(3X^2-Y^2)^2=-1$, e inoltre $ 2XY(3X^2+Y^2)>XY $: assurdo.

STEP 2
Siano $a, b$ tali che $ 3a^2-b^2=-1 $.
Vale: $ 3(a+b)^2-(3a+b)^2=-2(3a^2-b^2)=2 $.
Quindi $ (a+b, 3a+b) $ risolve l'equazione $ 3x^2-y^2=2 $.
Dato che $ a+b, 3a+b $ dipendono linearmaente da $ a, b $ e le coppie $ (a, b) $ tali che $ 3a^2-b^2=-1 $ sono infinite, anche le soluzioni di $ 3x^2-y^2=2 $ sono infinite.

[xXStephXx]

Ci provo..
Definisco per ricorrenza due successioni:
$x_0=1$, $x_1=3$, $x_n=4x_{n-1}-x_{n-2}$

$y_0=1$, $y_1=5$, $y_n=2x_n-x_{n-1}$

Dimostro per induzione che tutte le coppie $(x_n,y_n)$ sono soluzioni dell'equazione.
Passo base:
$x=1, y=1$: 3-1=2 OK
$x=3, y=5$: 27-25=2 OK

Ora suppongo che $3x_{n-1}^2-y_{n-1}^2=2$ e spero/dimostro che anche $3x_n^2-y_n^2=2$.
Sviluppando $y_{n-1}$ con la relazione $y_{n-1}=2x_{n-1}-x_{n-2}$, l'ipotesi equivale a:
$4x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}^2-x_{n-2}^2=2$

Analogamente ho che $3x_{n}^2-y_n^2= 4x_nx_{n-1}-x_n^2-x_{n-1}^2= \\
4(4x_{n-1}-x_{n-2})x_{n-1} - (16x_{n-1}^2+x_{n-2}^2-8x_{n-1}x_{n-2}) - x_{n-1}^2 = \\
4x_{n-1}x_{n-2}-x_{n-1}^2-x_{n-2}^2$.


Quest'ultima vale $2$ per ipotesi induttiva, quindi ne segue la tesi.
[edit, non avevo visto il messaggio di sopra, scusate]

[toti96]

anche se è molto simile a quella di xXstephxX posto la mia ...sono all'inizio e magari se qualcuno di buon cuore me la corregge XD ..allora ho sempre definito l'equazione iniziale come una successione in cui $ x_{n}=2x_{n-1}+y_{n-1} $ e che $ y_{n}=3x_{n-1}+2y_{n-1} $. ora ci resta da dimostrare la successione vera per induzione(se è vera naturalmente avrà infiniti valori $ (x,y) $ che la risolvono). cominciamo con il provare (1,1) banalmente vero. ora passiamo a dimostrare che se supponiamo vere le coppie da $ x_{1},y_{1} $ a $ x_{n},y_{n} $ , risulta vero anche $ x_{n+1},y_{n+1} $.ora lavoriamo sull'equazione iniziale che si trasforma in $ 3(2x_{n}+y_{n})^2 -2=3x_{n}+2y_{n} $. ora abbiamo supposto la verità dell'enunciato fino alla n quindi possiamo considerare $ (y_{n})^2=3(x_{n})^2-2 $ quindi sostituiamo i valori nell'uguaglianza di prima ottenendo $ 3(4x_{n}^2+3x_{n}^2-2+4y_{n}x_{n})=9x_{n}^2+12y_{n}x_{n}+12x_{n}^2-8 $. risolvendo l'eguaglianza otteniamo $ 0=0 $ sempre vero e quindi l'enunciato è dimostrato...