$p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
toti96
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da toti96 » 04 nov 2012, 15:47

ok giusto 6888 non è divisore di 1992 XD

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razorbeard
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da razorbeard » 04 nov 2012, 15:53

Giusto :oops: 24 deve essere moltiplicato solo per fattori 2,3,5,7 considerando le limitazioni che ho detto prima.
Dunque,24 può essere moltiplicato massimo per 83,per non superare 2012,e il numero per il quale deve essere moltiplicato può avere solo 2,3,5,7 nella sua fattorizzazione.
83 e 82 non vanno bene,81 si perchè $81=3^4$ quindi $24\cdot 81=1944$
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jordan
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da jordan » 04 nov 2012, 15:55

Ce l'abbiamo fatta :wink:
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da toti96 » 04 nov 2012, 16:39

chiedo un ultimo chiarimento :forse è un errore mio ma tra i fattori possibili non c'è anche 11 con cui posso avere 1320??

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razorbeard
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da razorbeard » 04 nov 2012, 16:46

Si, 1320 rientra nei valori accettabili,ma non è il più grande ;)
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da toti96 » 04 nov 2012, 16:52

ok ok grazie no avevo capito il valore più grande volevo solo vedere se il mio ragionamento filava dopo :P

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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da jordan » 04 nov 2012, 17:24

toti96 ha scritto:provo a dimostrare che sono tutti i numeri della forma $ 24m $ con m maggiore o uguale a 1 e minore o uguale a 83. allora io ho analizzato i primi cominciando dal caso particolare $ p=2 $,che ci porta a $ 3 $ divisore di $ n $ che ci porta a sua volta a $ 24 $ divisore di $ n $. lasciando da parte quindi 2 (che porta all'analisi anche di 3) tutti i numeri dispari sono esprimibili come :$ 3m o 3m+1 o 3m+2 $. tralasciamo $ 3m $ che non ci dà primi (a parte il caso 3 già visto) $ 3m+1 $ è dispari se e solo se $ m=2k $. ora sostituiamo e consideriamo $ p^2-1=(p+1)(p-1) $ che si trasforma in $ 6k(6k+2) $. ora distinguiamo a sua volta due possibilità per k $ k=2a $ che si trasforma in$ 24a(6a+1) $ uguale alla tesi in questo particolare caso. con $ k=2a+1 $ si trasforma in $ 24(2a+1)(3a+2) $. anche qui la tesi è dimostrata passiamo al caso $ p=3m+2 $ che per essere dispari deve avere$ m=2k+1 $ e che quindi si trasforma in $ (p+1)(p-1)=(6k+4)(6k+6) $ svolgiamo esce$ 36k^2+60k+24 $ che è multiplo di 24 se e solo se $ 36k^2+60k=12k(3k+5) $ lo è. analizziamo il caso $ k=2a $ che ci porta a $ 24a(6a+5) $ sempre divisibile per 24 . nel caso $ k=2a+1 $ allora sostituiamo ed esce $ 24(2a+1)(3a+4) $ sempre divisibile per 24. ora quello che mi trovo dimostrato è in realtà che qualsiasi numero dispari della forma $ 3m+1 o 3m+2 $ ha il prodotto del suo antecedente e del suo successore naturale multiplo di 24 . il che varrà allora anche per i p primi sottoinsieme dei dispari così esprimibili e quindi qualsiasi numero divisibile per $ p $ e per$ p^2-1 $ è un 24m quindi il più grande intero è $ 24 *83=1992 $

Cioè che dici è giusto, volevdo potevi scrivere piu' velocemente:

"Provo a dimostrare che se $n$ è un intero con quella proprietà allora è della forma $ 24m $ con m intero maggiore o uguale a 1 e minore o uguale a 83.

- $n$ deve essere pari, altrimenti tutti i primi divisori $p$ sarebbero dispari, e $2\mid p^2-1 \mid n$.

- $3\mid n$, infatti $2\mid n \implies 2^2-1 \mid n$.

- $8 \mid n$ infatti $3\mid n \implies 3^2-1 \mid n$.

Ricapitolando $3\cdot 2^3 \mid n$. []
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Re: $p\mid n \implies p^2-1 \mid n$

Messaggio da toti96 » 04 nov 2012, 18:38

giusto XD la mia soluzione è inutilmente generalizzata a tutti i dispari non multipli di 3 ;ho fatto diciamo tanto rumore per nulla XD comunque grazie dell'attenzione e dell'aiuto

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