Somma, prodotto ed $a$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mist
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Somma, prodotto ed $a$

Messaggio da Mist » 23 ott 2012, 21:43

Per quali numeri $a$ il prodotto di due numeri interi positivi la cui somma è $a$ può essere divisibile per $a$ ?
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
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ant.py
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Re: Somma, prodotto ed $a$

Messaggio da ant.py » 23 ott 2012, 22:20

boh, così a occhio direi nessuno..
Testo nascosto:
$ xy \equiv 0 \pmod a \Rightarrow x \equiv 0 \pmod a \vee y \equiv 0 \pmod a $ e però tenendo a mente questo si ha che
$ x + y = a \Rightarrow x \equiv 0 \pmod a \wedge y \equiv 0 \pmod a $
ma sappiamo da $ x + y = a $ che $ x, y < a $, quindi se $ x, y \neq 0 $, è impossibile che siano entrambi congrui a zero modulo a[]
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Troleito br00tal
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Re: Somma, prodotto ed $a$

Messaggio da Troleito br00tal » 23 ott 2012, 22:31

ant.py ha scritto:
Testo nascosto:
$ xy \equiv 0 \pmod a \Rightarrow x \equiv 0 \pmod a \vee y \equiv 0 \pmod a $ e però tenendo a mente questo...
Occhio, $x$ e $y$ non sono necessariamente primi

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kalu
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Re: Somma, prodotto ed $a$

Messaggio da kalu » 23 ott 2012, 23:46

E' necessario che $ a $ sia della forma $ p^2k $ con $ p $ primo
Supponiamo che per un certo $ a $ ci siano $ dx, dy $ interi positivi con $ (x, y)=1 $ tali che $ a=dx+dy\mid d^2xy \to x+y|dxy $.
Banalmente $ (x+y, xy)=1 $, quindi deve valere $ x+y \mid d $, da cui $ (x+y)^2\mid a $.
Dato che $ x+y\geq 2 $, esiste un primo $ p $ tale che $ p \mid x+y \to p^2 \mid a $.

E' sufficiente che $ a $ sia della forma $ p^2k $ con $ p $ primo
Basta prendere $ p(p-1)k, \ pk $.
Ultima modifica di kalu il 26 ott 2012, 14:07, modificato 1 volta in totale.
Pota gnari!

ant.py
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Re: Somma, prodotto ed $a$

Messaggio da ant.py » 23 ott 2012, 23:54

ok hai ragione grazie!

riprovo:

supponiamo $ \gcd(x, y) = 1 $. si ricade nel caso precedente, nessun $ a $ va bene
sia quindi $ \gcd(x, y) = d \neq 1 $; di ha $ d(x+y) = a $ da ciò è evidente che deve essere $ d \mid a $

siamo quindi a $ dx_1y_1 = \frac{a}{d}q $ . se $ d \mid q $, posso dividere per $ d $ e ottenere $ x_1y_1 = \frac{a}{d}k $, con $ x_1 + y_1 = \frac{d}{a} $. siamo dunque nel caso 1), e di conseguenza non c'è nessun a che va bene anche in questo caso

deve essere di conseguenza $ d^2 \mid a $, e sia $ x_1y_1 = \frac{a}{d^2}q $, con $ x_1 + y_1 = \frac{a}{d} $

quindi a deve essere divisibile per un quadrato affinché sia possibile trovare $ x, y $ che vanno bene. Funziona sempre?
beh, sia $ a = p^2q $. se prendo $ x = kp, y = p^2 - kp $ (con k intero) la loro somma è $ p^2q $ e il loro prodotto funziona.

Va bene?

edit: ovviamente non avevo visto il post di kalu :lol:
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