$x^4+x^3+x^2+x+1$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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LeZ
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$x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da LeZ » 25 set 2012, 17:36

Per quanti valori interi non negativi, $ x^4+x^3+x^2+x+1 $ è un quadrato perfetto.

Ido Bovski
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da Ido Bovski » 25 set 2012, 21:23

Testo nascosto:
Dobbiamo risolvere l'equazione diofantea $x^4+x^3+x^2+x+1=y^2$ con $(x, y)\in \mathbb{N^2}$.
L'equazione può essere riscritta come $(8y)^2-(8x^2+4x+3)^2=40x+55$. Allora chiaramente non si può avere che $8y=8x^2+4x+3$, pertanto $40x+55\ge ((8x^2+4x+3)+1)^2-(8x^2+4x+3)^2=2(8x^2+4x+3)+1$, da cui $x=0, 1, 2, 3$. A questo punto è facile verificare che le uniche soluzioni sono $(0, 1)$ e $(3, 11)$.
Edit: ma è normale che si veda così uno schifo l'hidden text? :roll:

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jordan
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da jordan » 07 mar 2013, 08:22

Ido Bovski ha scritto:Edit: ma è normale che si veda così uno schifo l'hidden text? :roll:
Non è normale, ma non è manco colpa tua :wink:
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LeZ
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da LeZ » 02 set 2013, 14:33

Possiamo ora anche chiamarlo SNS 2013 problema 3

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jordan
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da jordan » 02 set 2013, 15:32

LeZ ha scritto:SNS 2013 problema 3
Oh, ma quanta fantasia..
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Edex
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da Edex » 05 set 2013, 12:30

Scusate vorrei chiedere un chiarimento sulla soluzione postata:
ho seguito senza grandi problemi fino al punto $(8y)^2 - (8x^2 + 4x + 3)^2 = 40x + 55$ però non capisco perchè da ciò segue che $8y = 8x^2 + 4x + 3$ e il perchè della successiva disequazione.
Vi sarei molto grato se mi deste delle delucidazioni!
Grazie in anticipo! :)

LeZ
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da LeZ » 05 set 2013, 12:42

No no, credo che tu abbia letto male, perché NON può seguire che $ 8y=8x^2+4x+3 $, altrimenti $ 40x+55=0 $ che non ha soluzioni intere.
Ti propongo invece una strada alternativa per giungere ad una soluzione più elegante.
$ x^4+x^3+x^2+x+1=y^2 $$ \Rightarrow 4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=(2y)^2 $. Ora $ LHS $ non può assumere molti valori. Infatti $ (2x^2+x)^2<LHS<(2x^2+x+2)^2 $.
Quindi per valori positivi $ LHS=(2x^2+x+1)^2 $. Risolvendo ottieni $ x=3 $ che è soluzione.
Ultima modifica di LeZ il 05 set 2013, 13:13, modificato 1 volta in totale.

Ido Bovski
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da Ido Bovski » 05 set 2013, 13:02

In gara una volta trovata la soluzione proposta da LeZ (@LeZ: attento c'è un typo!), ero abbastanza confuso perché non mi ricordavo di aver risolto così il problema. Poi vabè, me ne sono convinto e son passato avanti :D

LeZ
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da LeZ » 05 set 2013, 13:13

Correggo! Grazie per la segnalazione!

Mist
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da Mist » 10 set 2013, 22:36

C'era anche sull'Engel, uguale identico...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

LeZ
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Re: $x^4+x^3+x^2+x+1$

Messaggio da LeZ » 11 set 2013, 11:48

Non mi sembra! Sull'Engel se non sbaglio c'era $ x^4+x^3+x^2+x=y^2+y $. ;)

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