Un insieme chiuso wrt prodotto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Un insieme chiuso wrt prodotto

Messaggio da jordan » 21 set 2012, 18:14

Mostrare che l'insieme $S:=\{n\in \mathbb{Z}: n=x^3+y^3+z^3-3xyz\text{ per qualche }x,y,z\in \mathbb{Z}\}$ e' chiuso rispetto al prodotto.

Ps. In altre parole $a \in S, b \in S \implies ab \in S$.
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Mist
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Re: Un insieme chiuso wrt prodotto

Messaggio da Mist » 21 set 2012, 20:02

Sia $D_{x,y,z}$ il determinante di $\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix}$. Si verifica che $D_{x,y,z} = x^3+y^3+z^3-3xyz$.
Ora, il determinante del prodotto di due matrici è il determinante della matrice prodotto. Quindi:
$\displaystyle D_{x,y,z}\cdot D_{a,b,c}= \mbox{det} \begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix} \cdot \mbox{det} \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = \mbox{det} \begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = \mbox{det} \begin{vmatrix} ax+cy+bz & bx+ay+cz & cx+by+az \\ cx+by+az & ax+cy+bz & bx+ay+cz \\ bx+ay+cz & cx+by+az & ax+cy+bz \end{vmatrix} = $
$= (ax+cy+bz)^3+ (bx+ay+cz)^3+(cx+by+az)^3-3(ax+cy+bz)(bx+ay+cz)(cx+by+az)$ che appartiene appunto ad $S$ come si voleva dimostrare.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

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Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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jordan
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Re: Un insieme chiuso wrt prodotto

Messaggio da jordan » 21 set 2012, 20:05

Perfetto.
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