facile, facile (IUSS 09-10)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraboz
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facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da fraboz » 20 set 2012, 15:13

es.1 Trovare il più piccolo numero con 100 divisori.

es. 2 Dati due numeri primi p, q tali che q = p + 2, dimostrare che, per $ p \geq 5 $:
a) p + q e` divisibile per 6;
b) Non esistono due numeri interi m, n tali che $ m^2 + n^2 = ( p + q )^2 − 1 $.

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Drago96
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 » 20 set 2012, 16:04

Nel primo intendi almeno 100 divisori o esattamente 100 divisori?

Il secondo è moolto facile... ;)
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LeZ
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da LeZ » 20 set 2012, 18:02

Stessa domanda mia!
Hint per il 2.
Testo nascosto:
1. Che cosa c'è tra 2 primi consecutivi?
2. Che modulo potrei utilizzare?

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fraboz
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da fraboz » 20 set 2012, 18:37

@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.

Robertopphneimer
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Robertopphneimer » 20 set 2012, 19:53

fraboz ha scritto:@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.
Lcm? primi 100 numeri primi.
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jordan
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan » 20 set 2012, 20:33

Robertopphneimer ha scritto:Lcm? primi 100 numeri primi.
Scherzi? :roll:
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 » 02 ott 2012, 22:21

2^99..?

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jordan
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan » 02 ott 2012, 22:51

nic.h.97 ha scritto:$2^{99}$..?
No: $3^{24}\cdot 2^3$ e' già un esempio piu' piccolo
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 » 03 ott 2012, 16:20

l'esponente piu' piccolo(1) va al numero primo piu' grande.
Chiamo $ x $ l'esponente piu' grande che va al numero primo piu' piccolo (2) e devo trovare quanto deve valere affinchè tutte le possibili combinazioni siano uguali a 99? (poi c'è sempre l'1 )
gli esponenti partono da $ x $ che sara' assegnato al 2 , e finiscono ad 1 che andra' al numero primo piu' grande.
se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $.
quindi da x ad 1 , gli esponenti diminuiscono sempre di 1 andando dal numero primo piu' piccolo al piu' grande.
----
Se abbiamo $ x=4 $
avremo come coefficienti 1 , 2 , 3 , 4 -------> le combinazioni possibili saranno date da
a) la somma di tutti i coefficienti ---> $ x(x+1)/2 $
b)$ (1*2+1*3+1*4)+(2*3+2*4)+(3*4) $
e quindi$ 1(2+3+4)+2(3+4)+3*4 $
quindi devo avere un x tale che a)+b) faccia 99

quindi lavoro sugli esponenti:


$ {x(x+1) \over 2} + 1( {x(x+1) \over 2}-1) + 2 ( {x(x+1) \over 2}-1-2) ....... + x(x-1) = 99 $

non so come si risolve questo calcolo .....
oppure prendo lo$ 0 $ che ha infiniti divisori :lol:
comunque è sbagliato il mio ragionamento?

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Drago96
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 » 03 ott 2012, 17:12

nic.h.97 ha scritto: ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $
Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto, però questo numero non ha 100 divisori... :?
Però sì, direi che sei ha un tot di esponenti il più grande va al fattore più piccolo, eccetera... (per minimizzare, ovviamente)
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 » 03 ott 2012, 17:31

2ho scritto "se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' 23∗32∗51."----> <Ad Esempio>
era per far capire cosa stavo intendendo , non ho mica detto che quel numero ha 100 divisori

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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 » 03 ott 2012, 18:04

Ok, penso di aver capito...
Tu stai cercando una formula per il numero di divisori, giusto?
Bene, ti do un indizio: se scomponi un numero in fattori primi, avrai una cosa del tipo $p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}$; se ora prendi un qualunque divisore e scomponi anche quello avrai qualcosa tipo $p_j^{\beta_j}\cdot p_k^{\beta_k}\cdots p_h^{\beta_h}$, con $i,j\dots ,k\in\{1,2,\dots ,n\}$, tutti distinti, e $0\le\beta_i\le\alpha_i \ \ \forall \ i : 1\le i\le n$.
Ora, in quanti modi puoi prendere $p_1$? Puoi prenderlo con esponente 0, con esponente 1,... oppure con esponente $\alpha_1$. E $p_2$? E $p_n$? E la scelta dell'esponente di un $p_i$ influenza la scelta dell'esponente di un $p_j$?
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da pexar94 » 03 ott 2012, 19:33

Sarà $ 2^4*3^4*5*7 $

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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan » 03 ott 2012, 22:36

Bisogna trovare il piu' piccolo intero $n>0$ tale che $\sigma_0(n)=2^2\cdot 5^2$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)\ge 5$ allora $\sigma_0(n)$ sarebbe diviso al almeno $5$ primi (non necessariamente distinti), il che e' assurdo.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=4$ allora e' chiaro che il piu' piccolo $n$ e' $n_1:=2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=3$ allora dovremmo scegliere tre interi $\alpha \ge \beta \ge \gamma \ge 1$ tali che
\[ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=2^2\cdot 5^2 \]
da cui le sole possibilità $(\alpha,\beta,\gamma) \in \{(24,1,1),(9,4,1),(4,4,3)\}$. Considerato che
\[ 2^{24}\cdot 3\cdot 5 > 2^9\cdot 3^4\cdot 5 > 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3\]
otteniamo che il minimo $n$ sotto il vincolo $\omega(n)=3$ e' $n_2:=2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=2$ allora abbiamo due sole possibilità: $2^9\cdot 3^9$ oppure $2^{24}\cdot 3^3$, da cui $n_3:=2^9\cdot 3^9$.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=1$ allora $n_4:=2^{99}$.

Considerando i $5$ casi sopra, abbiamo $n_4>n_3>n_2>n_1$, per cui il piu' piccolo $n$ tale che $\sigma_0(n)=100$ e' $2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$. []
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Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 » 06 ott 2012, 14:35

ok, nel caso di w(n) = 4 , dobbiamo per forza distribuire 5 , 5 , 2, 2 a ciascun numero.
e nel caso w(n)=3 , dobbiamo distribuire 5^2 e 2^2 tra 3 numeri e quindi si distingono 3 casi
5^2 , 2 , 2
5 , 5 , 2^2
5*2 , 5 , 2 ...
si ho capito grazie

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