Sulla reciprocità

[matty96]

Se $p=17^{2n}+4$ è primo, mostrare che $p\mid 7^{\frac{p-1}{2}}+1$

[Troleito br00tal]

O sono io diventato idiota (molto probabile) oppure è falso.

Se supponiamo vera la tesi abbiamo che:

$17^{\frac{p-1}{2}}=-1 (p)$

Quindi:

$x^2=17 (p)$

non ammette soluzioni. Però lui ammette soluzione:

$y^2=p (17)$

E per la reciprocità dei quadrati questo è assurdo. O no?

[Leonida]

@Troleito: quello che dici mi sembra giusto. Questo problema sembra essere N5 del PreIMO 2011, solo che in quest'ultimo si chiedeva di dimostrare che $ \displaystyle p\mid 7^{\frac{p-1}{2}}+1 $ Forse Matty96 ha commesso un errore di battitura...

[matty96]

Si la base è 7, ho messo un uno in più

[jordan]

Si la base è 7, ho messo un uno in più

Potresti editare il testo originale?

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Beh, abbiamo che 7 NON deve essere residuo quadratico modulo $p$, quindi supponiamo per assurdo che lo sia

Allora controllo che $p$ non sia residuo quadratico modulo 7 (reciprocità, appunto):
$289^n+4(7)$
Può assumere valori $2^0+4=5;2^1+4=6;2^2+4=1$, di cui solo $1$ è un residuo quadratico mod 7

Di conseguenza $n$ deve essere del tipo $3k+2$, però una bella congruenza mod 13 me lo rende non primo:
$3^{3k+2}+4=0(13)$

Quindi è assurdo

[jordan]

Ma hai usato che $\left(\frac{p}{7}\right)=\left(\frac{7}{p}\right)$, che non è vero per tutti i primi $p$.

[Troleito br00tal]

Sì ma lui è $1(4)$ (hai ragione, non ho specificato)

[jordan]

Sì ma lui è $1(4)$ (hai ragione, non ho specificato)

E' giusto ora, ma la soluzione la capirebbe solo chi già sa cos'è la reciprocità o chi ha già risolto il problema: ce lo scrivi per bene?