Polinomi non iniettivi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
Anér
Messaggi: 722
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Polinomi non iniettivi

Messaggio da Anér » 13 set 2012, 19:14

1) Sia $f(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi. Dimostrare che se $p$ è un primo dispari e il grado di $f$ è $p-1$, allora esistono due interi $1\leq i<j\leq p$ tali che $f(i)-f(j)$ sia divisibile per $p$. Detto altrimenti, il polinomio visto come funzione da $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ in sé non è iniettivo.
2) Stesso problema ma stavolta $f$ ha come grado un generico $d>1$ divisore di $p-1$.
3) Trovare un controesempio allo stesso problema con l'ipotesi che il grado di f sia non coprimo con $p-1$.
4) È vero in generale che se $f$ ha grado minore di $p-1$ ma non coprimo con $p-1$ allora non è iniettivo?
Buon lavoro!
Sono il cuoco della nazionale!

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da dario2994 » 16 set 2012, 22:36

Voglio linkare quest'altro risultato che è in qualche modo collegato, e quindi credo possa stare bene qui :)
Avverto però che può essere un hint ;)

Dato un primo $p$ e un polinomio $f\in \mathbb{Z}[x]$.L'impronta di $f$ modulo $p$ è $f(0)+f(1)+\dots + f(p-1)$ ridotto modulo $p$.
Dimostrare che $f$ è iniettivo se e solo se l'impronta di $f(x)^{p-1}$ è 1 e le impronte di $f(x),f(x)^2,\dots , f(x)^{p-2}$ sono tutte nulle.

p.s. è un iran TST recente mi pare
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Avatar utente
Anér
Messaggi: 722
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da Anér » 17 set 2012, 00:07

Detta così, conviene dimenticare anche che f sia un polinomio (cosa che peraltro modulo p si può sempre fare: ogni funzione è rappresentabile come polinomio).
Sono il cuoco della nazionale!

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da jordan » 17 set 2012, 01:00

In che senso ogni funzione e' rappresentabile come polinomio?
The only goal of science is the honor of the human spirit.

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da dario2994 » 17 set 2012, 13:51

@ Anér : Hai ragione :wink:
@ Jordan :Penso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Avatar utente
Anér
Messaggi: 722
Iscritto il: 03 giu 2008, 21:16
Località: Sabaudia

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da Anér » 17 set 2012, 14:40

Esattamente.
Sono il cuoco della nazionale!

ant.py
Messaggi: 140
Iscritto il: 18 set 2011, 11:36

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da ant.py » 17 set 2012, 15:17

dario2994 ha scritto:@ Anér : Hai ragione :wink:
@ Jordan :Penso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$
Questo si giustifica banalmente considerando che i valori assunti da f(n) modulo p sono solo p, quindi un polinomio di grado al massimo p-1 può passare per gli stessi punti di f(n), giusto?
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da dario2994 » 17 set 2012, 16:26

ant.py ha scritto: Questo si giustifica banalmente considerando che i valori assunti da f(n) modulo p sono solo p, quindi un polinomio di grado al massimo p-1 può passare per gli stessi punti di f(n), giusto?
Nope... prova a dimostrarlo però!
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Polinomi non iniettivi

Messaggio da jordan » 17 set 2012, 18:44

dario2994 ha scritto:@ Jordan :Penso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$
Grazie per il chiarimento, stavo pensando alle funzioni da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, e non era vero (a prima vista e' vero se e solo se $f$ è periodica)..
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi