$\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da jordan » 13 set 2012, 01:24

Sia dato un polinomio $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tale che per ogni primo $p$ esiste un intero $n$ tale che $f(n)=p$.

Mostrare che esiste un intero $m$ tale che $f(m)=x+m$ oppure $f(x)=-x+m$ oppure $f(x)=2x+2m+1$ oppure $f(x)=-2x+2m+1$.
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da Anér » 13 set 2012, 18:55

Detto in altri termini, mostrare che f ha grado 1!
Lascio qui due consigli, uno generico, l'altro mirato.
Testo nascosto:
Se un polinomio ha grado 2 o maggiore, ci si aspetta che cresca in modulo molto in fretta! Invece i numeri primi sono parecchi, quindi bisogna in qualche modo dimostrare che un polinomio di grado maggiore o uguale a 2 necessariamente salta alcuni primi.
Testo nascosto:
La verità è che la serie degli inversi dei primi diverge, mentre la serie degli inversi dei valori assoluti dei valori diversi da 0 assunti da un polinomio di grado >1 converge. Questa credo sia la strada più breve di arrivare in fondo, senza usare il teorema dei numeri primi, con cui pure si conclude abbastanza agevolmente.
Ultima modifica di Anér il 14 set 2012, 21:54, modificato 2 volte in totale.
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da jordan » 13 set 2012, 20:19

Effettivamente e' quella la soluzione, ma visto che hai messo il testo nascosto potevi anche scriverla per bene..
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da Anér » 13 set 2012, 21:15

Già l'ho fatto una volta, quando tu stesso proponesti un problema simile sul forum; ora tocca a qualcun altro!
Ho messo quei consigli proprio perché chi tra gli olimpionici non sapesse come approcciare il problema potesse risolverlo e scrivere per bene la soluzione.
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da jordan » 13 set 2012, 21:16

Anér ha scritto:Già l'ho fatto una volta, quando tu stesso proponesti un problema simile sul forum; ora tocca a qualcun altro!
Ho messo quei consigli proprio perché chi tra gli olimpionici non sapesse come approcciare il problema potesse risolverlo e scrivere per bene la soluzione.
Va bene, comunque molto originale il secondo pezzo ;) Ciao!
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da Anér » 14 set 2012, 21:53

In che senso "molto originale il secondo pezzo"?
Qualcuno intanto si dia da fare per il problema!
Ultima modifica di Anér il 14 set 2012, 22:05, modificato 1 volta in totale.
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da jordan » 14 set 2012, 21:57

Anér ha scritto:In che senso "molto originale il secondo pezzo"?
Che il primo pezzo da solo e' piu' che sufficiente per concludere ;)
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da Anér » 15 set 2012, 00:43

Perdonami ma continuo a non capire: quali sono i due pezzi? In che senso il primo basta e il secondo è originale?
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Re: $\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

Messaggio da jordan » 15 set 2012, 01:37

Anér ha scritto:Perdonami ma continuo a non capire: quali sono i due pezzi? In che senso il primo basta e il secondo è originale?
Nel senso che non e' necessario usare il fatto che $\sum_{p\in \mathbb{P}}{\frac{1}{p}}$ diverge: e' sufficiente "contare" il numero di primi $\pi(y)$ e mostrare che e' minore di $n^{\alpha}$ per qualche reale $\alpha>\frac{1}{2}$..

Ps. Sopra hai messo due testi nascosti, mi riferisco a quelli
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