Es. Dimostrativo del senior di TdN

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
scambret
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Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da scambret » 10 set 2012, 23:25

trovare tutti i numeri n interi tale che esistono x e y interi (non necessariamente positivi) t.c. $x^3+y^3=n!+4$.

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Drago96
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da Drago96 » 11 set 2012, 10:56

Testo nascosto:
C'è solo la terna $(x,y,n)=(1,3,4)$ e permutazione tra $x$ e $y$, giusto? :)
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scambret
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da scambret » 11 set 2012, 11:55

Drago96 ha scritto:
Testo nascosto:
C'è solo la terna $(x,y,n)=(1,3,4)$ e permutazione tra $x$ e $y$, giusto? :)
Nope, ma hai fatto bene a farlo nascosto, cosi provano anche gli altri :D

LeZ
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da LeZ » 11 set 2012, 18:00

C'è anche $ (5,-1,5) $, non mi vengono idee..

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Drago96
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da Drago96 » 11 set 2012, 18:17

LeZ ha scritto:C'è anche $ (5,-1,5) $, non mi vengono idee..
E' vero... :oops:
Testo nascosto:
$-2\equiv 5\pmod 7$ -.-"
L'idea per la dimostrazione è guardare mod 7, dato che i cubi sono 1 o -1; quindi gli $n\ge7$ si escludono e per gli altri si fanno un paio di conti o si escludono sempre mod 7
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da scambret » 11 set 2012, 18:29

Drago96 ha scritto:
LeZ ha scritto:C'è anche $ (5,-1,5) $, non mi vengono idee..
E' vero... :oops:
Testo nascosto:
$-2\equiv 5\pmod 7$ -.-"
L'idea per la dimostrazione è guardare mod 7, dato che i cubi sono 1 o -1; quindi gli $n\ge7$ si escludono e per gli altri si fanno un paio di conti o si escludono sempre mod 7
Bravi drago96 e lez ;)

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da LeZ » 11 set 2012, 20:49

Esatto, bravo drago! anche modulo $ 9 $ va bene! che esclude i casi dal $ 6 $ in su

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da scambret » 11 set 2012, 23:13

LeZ ha scritto:Esatto, bravo drago! anche modulo $ 9 $ va bene! che esclude i casi dal $ 6 $ in su
Infatti se uno lo fa modulo 7 E 9, viene meglio per escludere i valori 1 2 e 3. ;) senza farli a mano dicendo
$x^3+y^3-4$ modulo 7 esce 1,2,3,4,5 mentre modulo 9 è 3,4,5,6,7.. Quindi se n=1 $n!=1$ impossibile modulo 2.. Se n=2 assurdo modulo 9 e se n=3 assurdo modulo 7.. E 4 e 5 si trovano le due soluzioni ;)

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da matty96 » 12 set 2012, 13:13

In realtà ho trovato un altro modo che li esclude facilmente mod 7. Intanto n=1 si esclude poichè 1$1^3+1^3<5< 1^3+2^3$. Se si assume wlog $x \leq y$ posso dire che per $n\geq 4$ x e y sono entrambi dispari (perchè? :wink: ) poi lascio stare un attimo x=1 e trascrivo l'equazione e alla fine mi accorgo (come?) che $x=4x_1+3$ e $y=4y_1+1$ e per n>6 posso dimostrare mod 7 che non ci sono soluzioni (infatti 7^3+5^3> 5! +4 , ma non di 6!+4). Escludo n=6 poichè 7^3 + 7^3<724<7^3+8^3. Quindi per n>6 non ci sono soluzioni per qualsiasi x e per x>1 ci sono soluzioni solo se n>6 , per cui x=1, n varia da 2 a 5 (estremi inclusi) e i calcoli a mano si afanno abbastanza velocemente. Per le soluzioni negative si può considerare x^3-y^3. La mia soluzione so che fa schifo, perchè attraverso i moduli è abbastanza semplice e la mia è contorta, ma ci sono degli accorgimenti che magari potrebbero essere utili, un pò per stare attenti a passaggi dove magari si ci può imbrogliare facilmente. Insomma ho reso l'esercizio più difficile di quanto in realtà non lo sia.
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da Troleito br00tal » 12 set 2012, 19:52

Io mi oppongo all'uso dei moduli su questo pianeta. Faccio un eccidio!

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da scambret » 12 set 2012, 20:50

Troleito br00tal ha scritto:Io mi oppongo all'uso dei moduli su questo pianeta. Faccio un eccidio!
Come ti opponi?? c e un modo migliore per farlo??

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da Drago96 » 12 set 2012, 21:32

Troleito br00tal ha scritto:Io mi oppongo all'uso dei moduli su questo pianeta. Faccio un eccidio!
Disse l'uomo che affermò di aver risolto la congettura di Goldbach...
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da matty96 » 12 set 2012, 22:05

Scusate ragazzi, ma mi rimangio quello che ho detto prima. Alla fine il caso x^3-y^3 si esclude ragionando solo coi moduli, volevo trovare un modo diverso ma era solo un'idea, bah... almeno c'ho provato...magari qualcosa si poteva accettare ma è un inutile giro, meglio lasciar stare :oops:
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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da EvaristeG » 13 set 2012, 00:07

ragazzi, tanto per dire eh .. ma se mettete del testo nascosto, almeno metteteci una dimostrazione ... sparare i risultati così è sempre una brutta abitudine

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Re: Es. Dimostrativo del senior di TdN

Messaggio da Drago96 » 13 set 2012, 15:24

Provo a scrivere una dimostrazione "come si deve"...

1) I cubi modulo 7 sono $0$, $1$ o $-1$; ne segue che una somma di due cubi non può essere $3,4$ (si fa a mano)
2) I cubi modulo 9 sono $0$, $1$ o $-1$; ne segue che una somma di due cubi non può essere $3,4,5,6$ (si fa a mano)
3) Per $n\ge 7$ vale $x^3+y^3\equiv 4\pmod 7$, che è impossibile per 1).
4a) Per $n=6$ vale $x^3+y^3\equiv 6!+4\equiv 4\pmod 9$, che contraddice 2).
4b) Per $n=6$ vale $x^3+y^3\equiv 6!+4\equiv-1+4\equiv3\pmod 7$, dove nel secondo passaggio si è usato Wilson, situazione di nuovo impossibile per 1).
5) Per $n=5$ si deve avere $x^3+y^3=124\rightarrow (x+y)\left((x+y)^2-3xy\right)=124=2^2\cdot31$; chiamando $a=x+y>0$, deve essere che $a\mid 124$. Con un po' di passaggi algebrici si arriva a $\displaystyle x(a-x)=\frac{a^3-124}{3a}$; dunque $3\mid a^3-124$ e quindi $a\in\{1,4,31,124\}$. E da qui si trova che c'è soluzione solo per $a=4$, che porta alle due terne $(5,-1,5)$ e $(-1,5,5)$.
6) Per $n=4$ si deve avere $x^3+y^3=28$; stesso discorso e stessa notazione, si ottiene $a\in\{1,4,7,28\}$. Di nuovo a mano l'unico caso possibile è $a=4$, da cui le terne $(1,3,4),(3,1,4)$.
7) Per $n=3$ deve valere $x^3+y^3\equiv 6+4\equiv 3\pmod 7$, impossibile per 1).
8 ) Per $n=2$ deve valere $x^3+y^3\equiv 2+4\equiv 6\pmod 9$, impossibile per 2).
9) Per $n=1,0$ deve valere $x^3+y^3\equiv 1+4\equiv 5\pmod 9$, impossibile per 2).

Per una dimostrazione alternativa, si potrebbe notare che in entrambe le soluzioni $x+y=4$, e forse una strada potrebbe essere dimostrare che $x+y\le n$, che porta a dire $x+y\mid 4$ e da qua forse si potrebbe concludere
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