Es. 8 del senior

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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scambret
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Es. 8 del senior

Messaggio da scambret » 10 set 2012, 23:24

sia n un intero positivo. Sappiamo che $2012^n=$ * * * * * * * $\cdots$ 4 * 4, cioe la cifra della centinaia e dell'unità è 4. Determinare i valori della cifra della decina.

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Drago96
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da Drago96 » 13 set 2012, 19:14

Sono arivato a dire che possono essere solo 2 o 6 , però per dire che vanno bene mi sa che ci sono da fare un po' di conti...
Come faccio ad escludere le altre?

Semplicemente, deve valere $12^n\equiv10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12^n\equiv10a+4\pmod8\rightarrow2a+4\equiv0\pmod 8\rightarrow a\equiv2\pmod4$
E dato che $a<10$, per forza $a$ può essere solo $2$ o $6$

Ora bisognerebbe anche trovare degli $n$ per cui vale $12^n\equiv 424\pmod{1000}$ e $12^n\equiv 464\pmod{1000}$, in cui in realtà si possono "trsacurare" i fattori e vedere se esistono $n$ t.c. $12^n\equiv49\pmod{125}$ e $12^n\equiv89\pmod{125}$
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auron95
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da auron95 » 13 set 2012, 20:33

Drago96 ha scritto:$12n\equiv 10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12n\equiv10a+4\pmod8$
Non ho capito questo passaggio. Perchè tiri fuori un 8 che non c'è nel 100? Perché è tutto pari forse quindi tiri fuori un fattore 2 da qualche parte? Non capisco.
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spugna
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da spugna » 13 set 2012, 21:03

auron95 ha scritto:
Drago96 ha scritto:$12n\equiv 10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12n\equiv10a+4\pmod8$
Non ho capito questo passaggio. Perchè tiri fuori un 8 che non c'è nel 100? Perché è tutto pari forse quindi tiri fuori un fattore 2 da qualche parte? Non capisco.
In realtà ci si arriva da $12^n \equiv 10a+404$ $(\mod 1000)$: si passa da $\mod 1000$ a $\mod 8$ e poi si toglie $8a+400$... Insomma, alla fine il risultato è sempre quello, ma è sbagliata l'implicazione...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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auron95
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da auron95 » 13 set 2012, 21:09

Thanks! :D
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Drago96
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da Drago96 » 14 set 2012, 15:33

Sì, scusate... :oops:
Sul foglio avevo fatto prima $\mod 100$ e poi $\mod 1000$ e nella fretta ho saltato male alcuni passaggi... xD
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Re: Es. 8 del senior

Messaggio da scambret » 14 set 2012, 18:53

Mannaggiiiii, l avevo fatto sul foglio di brutta, ma pensavo che fosse totalmente sbagliato e non ho consumato minuti a "scrivere la soluzione" .... Peccato 3 punti persi!!!

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