Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
AlanG
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da AlanG » 10 set 2012, 17:40

EvaristeG ha scritto:B
Ergo, il povero radicedidue non è razionale.
XD bella.

Robertopphneimer
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Robertopphneimer » 10 set 2012, 19:22

Che debbo dire?? Siete grandi! grazie ad entrambi (Alan dammi una molteplicità e ti solleverò il mondo :lol: ) questo mi ha aerto gli orizzonti (ancora parecchio chiusi) sulla teoria insiemistica(carpisco una bella relazione che fissa i concetti tra infinità dei primi ed infinità degl irrazionali),graze anche a te Evariste :D ,tutto chiaro.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
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AlanG
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da AlanG » 11 set 2012, 00:15

Roberto, di preciso, cosa intendi per molteplicità?

max tre
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da max tre » 11 set 2012, 01:58

EvaristeG ha scritto:Beh, per chi avesse problemi e fastidio con i coprimi, si può fare così:

Supponiamo che $\sqrt{2}=a/b$ con $a,b$ interi (chissene della coprimalità); allora, di certo possiamo scrivere
$$a=2^{\alpha_1}\cdot3^{\alpha_2}\cdot5^{\alpha_3}\cdot\ldots$$
(la fattorizzazione di $a$ in fattori primi) e
$$b=2^{\beta_1}\cdot3^{\beta_2}\cdot5^{\beta_3}\cdot\ldots$$
(la fattorizzazione di $b$ in fattori primi).

$(\star)$ Ora come prima
$$2b^2=a^2$$
arrivati qua non si può concludere dicendo che, fattorizzando in primi, a sinistra abbiamo un numero dispari ($2\beta_1+1$) di 2 e a destra uno pari ($2\alpha_1$)?

Robertopphneimer
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Robertopphneimer » 11 set 2012, 11:05

Intendo che hanno in comune un numero(scusate se uso termini rozzi o non appropriati,prossima volta mi correggo) ex appunto 2 che non li rende più coprimi e dimostra l'assurdo,giusto?
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da EvaristeG » 13 set 2012, 14:34

max tre ha scritto: arrivati qua non si può concludere dicendo che, fattorizzando in primi, a sinistra abbiamo un numero dispari ($2\beta_1+1$) di 2 e a destra uno pari ($2\alpha_1$)?
Certo, ma la discesa infinita è sempre accattivante :)

Ehm, Robertopphneimer .. molteplicità vuol dire tutta un'altra cosa. Quello si chiama "fattore comune", proprio come insegnano alle medie ...

Robertopphneimer
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Robertopphneimer » 14 set 2012, 10:08

lasciamo perdere le medie...comunque vabè grazie :D
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Troleito br00tal » 11 dic 2012, 22:43

"$\sqrt2$ è irrazionale perché non è un residuo quadratico modulo 3" [cit.]

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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da ma_go » 12 dic 2012, 00:49

Troleito br00tal ha scritto:"$\sqrt2$ è irrazionale perché non è un residuo quadratico modulo 3" [cit.]
vorrai dire "perché 2 non è un residuo quadratico modulo 3", suppongo.
e comunque questo dimostra che $\sqrt2$ non è intero, non che è irrazionale.
[MNE]a meno che tu non voglia dire che è un intero algebrico che non è intero, quindi è irrazionale[/MNE].

e comunque quella che può sembrare una sega mentale è una linea di dimostrazione interessante (ma temo di non poter dire perché, altrimenti do troppi suggerimenti per problemi che sono aperti da qualche parte, in attesa di soluzione).

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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da jordan » 12 dic 2012, 00:50

Solo io credo fosse solo una battuta? :O
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Troleito br00tal » 12 dic 2012, 15:06

ma_go ha scritto: ...e comunque questo dimostra che $\sqrt2$ non è intero, non che è irrazionale.
Scusa la mia supponenza nel contraddire un boss, ma sei sicuro che esistano razionali tali che il loro quadrato sia un non residuo quadratico modulo un intero?

In realtà ho appena dimostrato il contrario (forse):

prendo un numero razionale $\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono interi positivi coprimi e lo analizzo modulo $n$. Ora ho due casi:
-$(b;n)$=1, allora esisterà un intero $c$ tale che $\frac{a}{b}=c(n)$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=c^2(n)$, che è un residuo quadratico;
-$(b;n)$>1, allora anche $b^2$ non è coprimo con $n$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=x(n)$ non ha nessuna soluzione per $x$ naturale.

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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da Ido Bovski » 12 dic 2012, 15:34

Si può dimostrare che $n^{1/k}$ è irrazionale se esiste almeno un primo $p$ tale che $n$ è un non residuo $k$-esimo modulo $p$. (non è una battuta!)

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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da jordan » 12 dic 2012, 20:06

Visto che ci siamo..

Siano fissati degli interi positivi $a_1,a_2,...a_n$ a coppie coprimi e degli interi positivi $b_1,b_2,...,b_n$ tali che $a_i^{1/b_i}$ non è intero, per ogni $i$.

Mostrare che se $c_1,c_2,\ldots,c_n$ sono degli interi tali che $\sum_{i=1}^n{c_i a_i^{1/b_i}}= 0$ allora $c_1=c_2=\ldots=c_n=0$.
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]

Messaggio da ma_go » 12 dic 2012, 20:10

Troleito br00tal ha scritto:prendo un numero razionale $\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono interi positivi coprimi e lo analizzo modulo $n$. Ora ho due casi:
-$(b;n)$=1, allora esisterà un intero $c$ tale che $\frac{a}{b}=c(n)$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=c^2(n)$, che è un residuo quadratico;
-$(b;n)$>1, allora anche $b^2$ non è coprimo con $n$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=x(n)$ non ha nessuna soluzione per $x$ naturale.
cosa vuol dire "analizzare un numero razionale modulo un intero"?
è vero che l'argomento si può girare, e torna, ma scritto così non ha senso.

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