$ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

$ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $

Messaggio da jordan » 25 ago 2012, 17:29

Risolvere negli interi: $ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $
The only goal of science is the honor of the human spirit.

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: $ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $

Messaggio da spugna » 28 ago 2012, 10:26

Moltiplicando tutto per $5$ si ha $25x^2-30xy+35y^2=1915$, ovvero $(5x-3y)^2=1915-26y^2$
Si ricava che:
1) $3|y$: infatti se così non fosse seguirebbe $RHS \equiv -1$ $(mod3)$, impossibile per un quadrato perfetto
2) $RHS \ge 0 \Rightarrow y^2 < \dfrac{1915}{26} \Rightarrow |y| \le 8$
Detto questo, ci sono tre valori possibili per $y^2$: l'unico che rende il secondo membro un quadrato perfetto è $9$, da cui $y=\pm3$
Sostituendo abbiamo $5x \mp 9=\pm 41 \Rightarrow 5x=\pm9 \pm41$, ovvero $5x=\mp32$ (non accettabile) o $5x=\pm50 \Rightarrow x=\pm10$
Le uniche soluzioni intere sono quindi $(10,3)$ e $(-10,-3)$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: $ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $

Messaggio da jordan » 28 ago 2012, 21:07

Very good ;)
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi